Considere a função periódica f(x)=3 x,-2. Sobre f são feitas as seguintes afirmações:
i) f é par e, portanto os coeficientes a0 e an da expansão de f em séries de Fourier são nulos. ii) O coeficiente a0 da expansão em série de Fourier de f é igual a 12pi.
iii) O coeficiente b3 da expansão em série de Fourier de f é igual a 4pi.
É correto afirmar que:
a) As afirmações i e ii são corretas.
b) As afirmações ii e iii são corretas.
c) Todas as afirmações são falsas.
d) Existe somente uma afirmação correta.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me apresentou um exercício sobre séries de Fourier aplicado à função periódica definida no intervalo com período . O objetivo é analisar três afirmações sobre os coeficientes da expansão em série de Fourier dessa função e determinar qual das alternativas é correta. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções pares e ímpares, calcular os coeficientes , e da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f(-x) = 3(-x) = -3x = -f(x) é par ou ímpar. Uma função é par se e ímpar se . Vamos testar:
Como , a função é ímpar.

Passo 3

Agora que sabemos que a função é ímpar, vamos lembrar que nas séries de Fourier:
  • Se a função for par, apenas os coeficientes e são diferentes de zero.
  • Se a função for ímpar, apenas os coeficientes são diferentes de zero.
Como nossa função é ímpar, isso significa que os coeficientes e são nulos.

Passo 4

Vamos verificar a primeira afirmação:
i) é par e, portanto, os coeficientes e da expansão de em séries de Fourier são nulos.
Já comprovamos que é ímpar, não par. Portanto, a parte que diz que é par está incorreta. Além disso, embora os coeficientes e sejam nulos para funções ímpares, a conclusão da afirmação parte de uma premissa errada. Assim, a afirmação i está incorreta.

Passo 5

Vamos para a segunda afirmação:
ii) O coeficiente da expansão em série de Fourier de é igual a .
Como é ímpar, sabemos que . Portanto, dizer que está incorrecto. A afirmação ii está incorreta.

Passo 6

Agora, a terceira afirmação:
iii) O coeficiente bn = 2T integral-L^L f(x) sin(npi xL) dx da expansão em série de Fourier de bn = 24 integral-2^2 3x sin(npi x2) dx = 32 integral-2^2 x sin(npi x2) dx é igual a bn = 3 integral0^2 x sin(npi x2) dx .
Vamos calcular b3 = 3 integral0^2 x sin(3pi x2) dx para nossa função ímpar b3 = 4pi no intervalo . A fórmula para é:
Onde e . Então,
Como é ímpar e também é ímpar, o produto é par, então podemos simplificar:
Calculando para :
Resolvendo essa integral (usando integração por partes), encontramos:
Portanto, a afirmação iii está correta.

Resposta

A única afirmação correta é a iii. Portanto, a alternativa correta é d) Existe somente uma afirmação correta.

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