Considere a função periódica
. Sobre
são feitas as seguintes afirmações:
i)
é par e, portanto os coeficientes
e
da expansão de
em séries de Fourier são nulos. ii) O coeficiente
da expansão em série de Fourier de
é igual a
.
iii) O coeficiente
da expansão em série de Fourier de
é igual a
.
É correto afirmar que:
a) As afirmações i e ii são corretas.
b) As afirmações ii e iii são corretas.
c) Todas as afirmações são falsas.
d) Existe somente uma afirmação correta.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
i)
iii) O coeficiente
É correto afirmar que:
a) As afirmações i e ii são corretas.
b) As afirmações ii e iii são corretas.
c) Todas as afirmações são falsas.
d) Existe somente uma afirmação correta.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me apresentou um exercício sobre séries de Fourier aplicado à função periódica
definida no intervalo
com período
. O objetivo é analisar três afirmações sobre os coeficientes da expansão em série de Fourier dessa função e determinar qual das alternativas é correta. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções pares e ímpares, calcular os coeficientes
,
e
da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é par ou ímpar. Uma função é par se
e ímpar se
. Vamos testar:
Como
, a função é ímpar.
Passo 3
Agora que sabemos que a função é ímpar, vamos lembrar que nas séries de Fourier:
- Se a função for par, apenas os coeficientes
e são diferentes de zero. - Se a função for ímpar, apenas os coeficientes
são diferentes de zero.
Como nossa função é ímpar, isso significa que os coeficientes
e
são nulos.
Passo 4
Vamos verificar a primeira afirmação:
i)
é par e, portanto, os coeficientes
e
da expansão de
em séries de Fourier são nulos.
Já comprovamos que
é ímpar, não par. Portanto, a parte que diz que
é par está incorreta. Além disso, embora os coeficientes
e
sejam nulos para funções ímpares, a conclusão da afirmação parte de uma premissa errada. Assim, a afirmação i está incorreta.
Passo 5
Vamos para a segunda afirmação:
ii) O coeficiente
da expansão em série de Fourier de
é igual a
.
Como
é ímpar, sabemos que
. Portanto, dizer que
está incorrecto. A afirmação ii está incorreta.
Passo 6
Agora, a terceira afirmação:
iii) O coeficiente
da expansão em série de Fourier de
é igual a
.
Vamos calcular
para nossa função ímpar
no intervalo
. A fórmula para
é:
Onde
e
. Então,
Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto é par, então podemos simplificar:
Calculando para
:
Resolvendo essa integral (usando integração por partes), encontramos:
Portanto, a afirmação iii está correta.
Resposta
A única afirmação correta é a iii. Portanto, a alternativa correta é d) Existe somente uma afirmação correta.