Considere a função:
São feitas as seguintes afirmações com base em sua expansão é séries de Fourier:
i) Aplicando
em ambos membros de
e de sua expansão em série de Fourier é possível mostrar que:
ii) Aplicando
em ambos membros de
e de sua expansão em série de Fourier é possível mostrar que:
iii)
é uma função ímpar e, portanto, seu desenvolvimento em série de Fourier não apresenta termos em seno, isto é,
.
iv)
deve ser definina em
e
por
para que a série de fourier convirja.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas três das afirmações acima são corretas.
b) Apenas duas das afirmações acima são corretas.
c) As afirmações i, ii e iii são corretas.
d) Apenas a afirmação iv é correta.
e) Nenhuma das alternativas anteriores é correta.
i) Aplicando
iv)
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas três das afirmações acima são corretas.
b) Apenas duas das afirmações acima são corretas.
c) As afirmações i, ii e iii são corretas.
d) Apenas a afirmação iv é correta.
e) Nenhuma das alternativas anteriores é correta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Temos uma função definida por partes:
A questão nos apresenta quatro afirmações relacionadas à expansão dessa função em série de Fourier e nos pede para identificar quais estão corretas. Para resolver isso, vamos analisar cada afirmação individualmente, verificando sua veracidade com base no conteúdo de séries de Fourier.
Passo 2
Afirmação i:
Aplica-se
na função
e em sua série de Fourier para obter:
Explicação:
Essa série é conhecida como a série de Leibniz para . Ela converge para
quando
é aplicado na expansão de Fourier da função dada. Portanto, a afirmação i está correta.
Essa série é conhecida como a série de Leibniz para
Passo 3
Afirmação ii:
Aplica-se
na função
e em sua série de Fourier para obter:
Explicação:
Ao aplicar na série de Fourier da função, obtemos uma série que envolve termos com
. A soma dessa série realmente resulta em
. Portanto, a afirmação ii também está correta.
Ao aplicar
Passo 4
Afirmação iii:
A função
é ímpar, e portanto, seu desenvolvimento em série de Fourier não apresenta termos em seno, isto é,
.
Explicação:
Uma função ímpar é aquela que satisfaz . Observando a definição de
:
Uma função ímpar é aquela que satisfaz
- Para
, . - Para
, .
Vamos verificar se
é ímpar:
Para
,
e
. Claramente,
. Portanto,
não é uma função ímpar. Assim, a afirmação iii está incorreta.
Passo 5
Afirmação iv:
Explicação:
Para que a série de Fourier convirja na fronteira dos intervalos, a função deve ser contínua nesses pontos ou, caso contrário, deve ser definida como a média dos limites laterais. Neste caso, definir assegura que a função seja contínua nos extremos, facilitando a convergência da série de Fourier. Portanto, a afirmação iv está correta.
Para que a série de Fourier convirja na fronteira dos intervalos, a função deve ser contínua nesses pontos ou, caso contrário, deve ser definida como a média dos limites laterais. Neste caso, definir
Resposta
A alternativa correta é a a) Apenas três das afirmações acima são corretas.