Considere a função:
f(x)=cc x, & 0
São feitas as seguintes afirmações com base em sua expansão é séries de Fourier:
i) Aplicando x=12 em ambos membros de f e de sua expansão em série de Fourier é possível mostrar que:
sumn=1^infty (-1)^n+12 n-1=pi4
ii) Aplicando x=0 em ambos membros de f e de sua expansão em série de Fourier é possível mostrar que:
sumn=1^infty 1(2 n+1)^2=pi^2-88
iii) f é uma função ímpar e, portanto, seu desenvolvimento em série de Fourier não apresenta termos em seno, isto é, bn=0.
iv) f(x) deve ser definina em x=1 e x=-1 por f(1)=f(-1)=12 para que a série de fourier convirja.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas três das afirmações acima são corretas.
b) Apenas duas das afirmações acima são corretas.
c) As afirmações i, ii e iii são corretas.
d) Apenas a afirmação iv é correta.
e) Nenhuma das alternativas anteriores é correta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado da questão. Temos uma função definida por partes:
f(x)=cc x, & 0
A questão nos apresenta quatro afirmações relacionadas à expansão dessa função em série de Fourier e nos pede para identificar quais estão corretas. Para resolver isso, vamos analisar cada afirmação individualmente, verificando sua veracidade com base no conteúdo de séries de Fourier.

Passo 2

Afirmação i:
Aplica-se sumn=1^infty (-1)^n+12n-1 = pi4 na função e em sua série de Fourier para obter:
Explicação:
Essa série é conhecida como a série de Leibniz para . Ela converge para quando é aplicado na expansão de Fourier da função dada. Portanto, a afirmação i está correta.

Passo 3

Afirmação ii:
Aplica-se sumn=1^infty 1(2n+1)^2 = pi^2 - 88 na função e em sua série de Fourier para obter:
Explicação:
Ao aplicar na série de Fourier da função, obtemos uma série que envolve termos com . A soma dessa série realmente resulta em . Portanto, a afirmação ii também está correta.

Passo 4

Afirmação iii:
A função é ímpar, e portanto, seu desenvolvimento em série de Fourier não apresenta termos em seno, isto é, .
Explicação:
Uma função ímpar é aquela que satisfaz . Observando a definição de :
  • Para , .
  • Para , .
Vamos verificar se é ímpar:
Para , e . Claramente, . Portanto, não é uma função ímpar. Assim, a afirmação iii está incorreta.

Passo 5

Afirmação iv:
deve ser definida em e por para que a série de Fourier convirja.
Explicação:
Para que a série de Fourier convirja na fronteira dos intervalos, a função deve ser contínua nesses pontos ou, caso contrário, deve ser definida como a média dos limites laterais. Neste caso, definir assegura que a função seja contínua nos extremos, facilitando a convergência da série de Fourier. Portanto, a afirmação iv está correta.

Resposta

A alternativa correta é a a) Apenas três das afirmações acima são corretas.

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