Seja f(x) uma função periódica, com período T=2 pi, definida como:
f(x)= 1, & para 0 <= x
Nessas condições, pede-se:
(a) Faço o esboço do gráfico de f(x) no intervalo -3 pi <= x<3 pi;

Passo 1

O exercício pede o esboço do gráfico de uma função periódica de período 2pi que vale 1 em [0,pi) e 0 em [-pi,0), agora no intervalo ampliado [-3pi,3pi).

Passo 2

Como f(x+2pi)=f(x), podemos gerar o gráfico repetindo o padrão primário em cada intervalo de largura 2pi. Vamos dividir [-3pi,3pi) em três blocos de tamanho 2pi:
  • [-3pi,-pi)
  • [-pi,pi)
  • [pi,3pi)

Passo 3

No bloco [-3pi,-pi) tomamos x+2pi, que varre [-pi,pi). Assim:
  • Para xin[-3pi,-2pi): x+2piin[-pi,0) f(x)=0.
  • Para xin[-2pi,-pi): x+2piin[0,pi) f(x)=1.

Passo 4

No bloco [-pi,pi) temos a definição original:
  • f(x)=0 em [-pi,0)
  • f(x)=1 em [0,pi)

Passo 5

No bloco [pi,3pi) tomamos x-2pi, que varre [-pi,pi). Assim:
  • Para xin[pi,2pi): x-2piin[-pi,0) f(x)=0.
  • Para xin[2pi,3pi): x-2piin[0,pi) f(x)=1.

Passo 6

Com isso, o esboço é um “pulso retangular” que alterna altura 0 e 1 em cada subintervalo de comprimento pi, conforme detalhado acima. Basta desenhar blocos de altura 0 ou 1 sobre cada subintervalo descrito.

Resposta

No intervalo [-3π,3π) o gráfico é dado por:
  • f(x)=0 para x∈[-3π,−2π)
  • f(x)=1 para x∈[-2π,−π)
  • f(x)=0 para x∈[−π,0)
  • f(x)=1 para x∈[0,π)
  • f(x)=0 para x∈[π,2π)
  • f(x)=1 para x∈[2π,3π)
Esse padrão retangular de altura 0 e 1 se repete a cada 2π, formando a onda periódica solicitada.

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