Considere a função g(x)=e^x. Pode-se motrar que
g^prime(0)=lim h 0 e^h-1h=1
Lembrando que e^a+b=e^a e^b, use a igualdade acima e a definição de derivada para verificar que (e^x)^prime=e^x.

Passo 1

Neste exercício queremos verificar que a derivada da função g(x)=e^x é ela própria, ou seja, demostrar que (ex)’=ex. Para isso vamos usar a definição de derivada e a propriedade do exponencial e{a+b}=ea e^b.

Passo 2

Pela definição de derivada, para qualquer x real temos
g'(x)=limhto0g(x+h)-g(x)h=limhto0e^x+h-e^xh

Passo 3

Aplicando a propriedade do número e, sabemos que e{x+h}=ex e^h. Assim o quociente vira
e^x+h-e^xh=e^x e^h - e^xh=e^xcdote^h-1h, pois e^x não depende de h e pode sair da fração.

Passo 4

Já conhecemos o resultado
limhto0e^h-1h=1
Substituindo esse limite na expressão acima, obtemos
g'(x)=e^xcdot1=e^x

Resposta

(e^x)’ = e^x

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