Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares:
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 e^-x^2-y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 e^-x^2-y^2 , dy , dx
Aqui estamos trabalhando com integração dupla em coordenadas cartesianas, mas a região de integração sugere que podemos simplificar usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta) e lembrar que o elemento de área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites para x vão de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 até raiz4 - x^2. Isso descreve um quarto de círculo de raio 2 no primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Sabemos que:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área:
dx , dy = r , dr , dtheta
Além disso, a função no integrando se torna:
e^-x^2 - y^2 = e^-r^2

Passo 4

Determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos no primeiro quadrante e dentro de um raio de 2, temos:
theta: 0 a pi2 r: 0 a 2

Passo 5

Substituindo tudo na integral, ficamos com:
integral0^pi2 integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r primeiro:
integral0^2 r e^-r^2 , dr
Fazendo a substituição u = -r^2, então du = -2r , dr, ou seja, r , dr = -12 du. Assim, a integral se torna:
-12 integral0^-4 e^u , du = 12 integral-4^0 e^u , du = 12 [e^0 - e^-4] = 12 (1 - e^-4)

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi2 12 (1 - e^-4) , dtheta = 12 (1 - e^-4) cdot pi2 = pi4 (1 - e^-4)

Resposta

A integral vale:
pi4 (1 - e^-4)

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