Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
Aqui estamos trabalhando com integração dupla em coordenadas cartesianas, mas a região de integração sugere que podemos simplificar usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas
para polares
e lembrar que o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites para
vão de
a
, e para cada
,
varia de
até
. Isso descreve um quarto de círculo de raio
no primeiro quadrante.
Passo 3
Agora, vamos converter a integral para coordenadas polares. Sabemos que:
E o elemento de área:
Além disso, a função no integrando se torna:
Passo 4
Determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Como estamos no primeiro quadrante e dentro de um raio de
, temos:
Passo 5
Substituindo tudo na integral, ficamos com:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. Assim, a integral se torna:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral vale: