Determine as superfícies de nível para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as superfícies de nível da função $ f(x, y, z) = x^{2} - y^{2} $. Isso faz parte do estudo de geometria analítica, mais especificamente sobre superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como representá-las matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível para uma função de três variáveis, como $ f(x, y, z) $, é o conjunto de todos os pontos $ (x, y, z) $ no espaço que satisfazem a equação $ f(x, y, z) = k $, onde $ k $ é uma constante real. Basicamente, é como cortar a função em diferentes “fatia” de valor constante $ k $.
Passo 3
No nosso caso, a função é $ f(x, y, z) = x^{2} - y^{2} $. Para encontrar as superfícies de nível, vamos igualar essa função a uma constante $ k $:
Passo 4
Agora, vamos analisar essa equação para diferentes valores de $ k $:
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Quando $ k > 0 $: A equação $ x^{2} - y^{2} = k $ representa uma hipérbole no plano $ xy $. No espaço tridimensional, isso forma um “paraboloide hiperbólico” que se estende ao longo do eixo $ z $.
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Quando $ k = 0 $: A equação se simplifica para $ x^{2} - y^{2} = 0 $, que pode ser fatorada como $ (x - y)(x + y) = 0 $. Isso representa duas retas no plano $ xy $: $ y = x $ e $ y = -x $. No espaço, essa superfície é um par de planos que se intersectam ao longo do eixo $ z $.
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Quando $ k < 0 $: A equação $ x^{2} - y^{2} = k $ pode ser reescrita como $ y^{2} - x^{2} = |k| $, que também é uma hipérbole, mas aberta na direção oposta. No espaço tridimensional, novamente formaria um “paraboloide hiperbólico” estendido ao longo do eixo $ z $.
Passo 5
Resumindo, para cada valor de $ k $, a equação $ x^{2} - y^{2} = k $ gera uma superfície específica no espaço:
- Superfícies hiperbólicas para $ k \neq 0 $, que são como “canais” abertos nas direções $ x $ ou $ y $.
- Dois planos retos para $ k = 0 $, formando uma cruz no plano $ xy $ e se estendendo ao longo do eixo $ z $.
Resposta
As superfícies de nível da função $ f(x, y, z) = x^{2} - y^{2} $ são:
- Paraboloides hiperbólicos quando $ k $ é diferente de zero, estendidos ao longo do eixo $ z $.
- Dois planos retos intersectando-se ao longo do eixo $ z $ quando $ k = 0 $.