Dada a SF
x sim sumn-1^infty 2n(-1)^n+1 sen(n x), -pi
integre termo a termo para obter a SF para x^2, calculando a constante de integração, integrando ambos os membros para x in[-pi, pi]. Use a mesma técnica da SF para x^4 dada no exercício anterio para obter a SF para x^5 em -pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de Fourier (SF) de x em (–π,π):
x = sumn=1^infty 2n(-1)^n+1sin(nx)
Queremos, integrando termo a termo, obter primeiro a SF de x² (calculando a constante de integração via integral em [–π,π]) e depois, usando a mesma ideia dada no exercício anterior para x⁴, integrar e achar a SF de x⁵.

Passo 2

Começamos integrando a SF de x termo a termo. De um lado temos
integral x,dx = x^22 + K
e do outro
integral sumn=1^infty 2n(-1)^n+1sin(nx),dx = sumn=1^infty 2n(-1)^n+1(-cos(nx)n) = -2sumn=1^infty (-1)^n+1n^2cos(nx)

Passo 3

Para determinar K, integramos ambos os membros de x²/2+K e da soma em [-π,π]. Como integral-pi^picos(nx),dx=0, obtemos
integral-pi^pi l(x^22+Kr)dx = 0
isto dá
pi^33 + 2Kpi = 0 Longrightarrow K = -pi^26

Passo 4

Substituindo K e multiplicando por 2, a SF de x² fica
x^22 - pi^26 = -2sumn=1^infty (-1)^n+1n^2cos(nx) $$
\Longrightarrow
x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)n}{n2}\cos(nx).
$$

Passo 5

Agora usamos a SF dada para x⁴ (do exercício anterior):
x^4 = pi^45 + 8sumn=1^infty(-1)^nl(6n^2-24n^4r)cos(nx)
Integrando termo a termo:
integral x^4,dx = x^55+C = pi^4 x5 +8sumn=1^infty(-1)^nl(6n^2-24n^4r)sin(nx)n
Como o lado direito é função ímpar, o termo constante C=0.

Passo 6

Multiplicando por 5 e recolocando em sin(nx) puro, obtemos
x^5 = pi^4 x + 40sumn=1^infty(-1)^nl(6n^3-24n^5r)sin(nx)
Substituindo a SF de x para reunir tudo em uma única soma de senos:
x^5 = 2sumn=1^infty(-1)^n+1l(pi^4n-120n^3+480n^5r)sin(nx)

Resposta

Série de Fourier para x² em (–π,π):
x^2 = pi^23 + 4sumn=1^infty(-1)^ncos(nx)n^2
Série de Fourier para x⁵ em (–π,π):
x^5 = 2sumn=1^infty(-1)^n+1l(pi^4n-120n^3+480n^5r)sin(nx)

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