Dada a SF
integre termo a termo para obter a SF para
, calculando a constante de integração, integrando ambos os membros para
. Use a mesma técnica da SF para
dada no exercício anterio para obter a SF para
em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de Fourier (SF) de x em (–π,π):
Queremos, integrando termo a termo, obter primeiro a SF de x² (calculando a constante de integração via integral em [–π,π]) e depois, usando a mesma ideia dada no exercício anterior para x⁴, integrar e achar a SF de x⁵.
Passo 2
Começamos integrando a SF de x termo a termo. De um lado temos
e do outro
Passo 3
Para determinar K, integramos ambos os membros de x²/2+K e da soma em [-π,π]. Como
, obtemos
isto dá
Passo 4
Substituindo K e multiplicando por 2, a SF de x² fica
\Longrightarrow
x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)n}{n2}\cos(nx).
x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)n}{n2}\cos(nx).
$$
Passo 5
Agora usamos a SF dada para x⁴ (do exercício anterior):
Integrando termo a termo:
Como o lado direito é função ímpar, o termo constante C=0.
Passo 6
Multiplicando por 5 e recolocando em sin(nx) puro, obtemos
Substituindo a SF de x para reunir tudo em uma única soma de senos:
Resposta
Série de Fourier para x² em (–π,π):
Série de Fourier para x⁵ em (–π,π):