Neste problema vamos determinar condições sobre e de modo que a Eq. (32) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes mediante uma mudança da variável independente. Seja a nova variável independente, com a relação entre e a ser especificada mais tarde.
a. Mostre que
b. Mostre que a equação diferencial (32) se torna
c. Para que a Eq. (35) tenha coeficientes constantes, é preciso que os coeficientes de e de sejam todos proporcionais. Se , então podemos escolher a constante de proporcionalidade como um; logo, depois de integrar em relação a ,
d. Com escolhido como no item (c), mostre que o coeficiente de na Eq. (35) também é constante, desde que a expressão
seja constante. Assim, a Eq. (32) pode ser transformada em uma equação com coeficientes constantes a partir de uma mudança da variável independente, desde que a função seja constante.
e. Como a análise e o resultado em (d) será modificado se ?
Passo 1
O enunciado parte da equação de segunda ordem em
e propõe a mudança de variável independente
x = u(t),
de modo a obter, em x, uma equação com coeficientes constantes. Para isso vamos: (a) usar a regra da cadeia para derivadas de y(t)=yl(x(t)r), (b) substituir em (32), (c) impor que os coeficientes sejam proporcionais e escolher a constante de proporcionalidade igual a 1, (d) exigir que o coeficiente de dy/dx seja constante e achar a condição sobre p e q, e (e) discutir o caso q(t)<0.
Passo 2
Aplicamos a regra da cadeia. Como y=y(x(t)), temos