Neste problema vamos determinar condições sobre p e q de modo que a Eq. (32) possa ser transformada em uma equação com coeficientes constantes mediante uma mudança da variável independente. Seja x=u(t) a nova variável independente, com a relação entre x e t a ser especificada mais tarde.
a. Mostre que
d yd t=d xd t d yd x, d^2 yd t^2=(d xd t)^2 d^2 yd x^2+d^2 xd t^2 d yd x
b. Mostre que a equação diferencial (32) se torna
(d xd t)^2 d^2 yd x^2+(d^2 xd t^2+p(t) d xd t) d yd x+q(t) y=0
c. Para que a Eq. (35) tenha coeficientes constantes, é preciso que os coeficientes de d^2 y / d x^2, d y / d x e de y sejam todos proporcionais. Se q(t)>0, então podemos escolher a constante de proporcionalidade como um; logo, depois de integrar em relação a t,
x=u(t)=integral(q(t))^1 / 2 d t
d. Com x escolhido como no item (c), mostre que o coeficiente de d y / d x na Eq. (35) também é constante, desde que a expressão
q^prime(t)+2 p(t) q(t)2(q(t))^3 / 2
seja constante. Assim, a Eq. (32) pode ser transformada em uma equação com coeficientes constantes a partir de uma mudança da variável independente, desde que a função (q^prime+2 p q) / q^3 / 2 seja constante.
e. Como a análise e o resultado em (d) será modificado se q(t)<0 ?

Passo 1

O enunciado parte da equação de segunda ordem em t
d^2ydt^2 + p(t),d ydt + q(t),y = 0 tag32
e propõe a mudança de variável independente
x = u(t),
de modo a obter, em x, uma equação com coeficientes constantes. Para isso vamos: (a) usar a regra da cadeia para derivadas de y(t)=yl(x(t)r), (b) substituir em (32), (c) impor que os coeficientes sejam proporcionais e escolher a constante de proporcionalidade igual a 1, (d) exigir que o coeficiente de dy/dx seja constante e achar a condição sobre p e q, e (e) discutir o caso q(t)<0.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia. Como y=y(x(t)), temos
dydt =dxdt,dydx
Para a segunda derivada, derivamos de novo em t:
d^2ydt^2 =ddtl(dxdt,dydxr) =d^2xdt^2,dydx +dxdt,ddtl(dydxr)
Mas
ddtl(dydxr) =dxdt,ddxl(dydxr) =dxdt,d^2ydx^2,
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d^2ydt^2 =l(dxdtr)^2,d^2ydx^2 +d^2xdt^2,dydx

Passo 3

Substituindo essas expressões em (32):
l(dxdtr)^2d^2ydx^2 +d^2xdt^2dydx + p(t),dxdtdydx + q(t),y=0
Agrupando os termos em ,d^2y/dx^2, ,dy/dx e y, obtemos
l(dxdtr)^2d^2ydx^2 +l(d^2xdt^2+p(t),dxdtr)dydx +q(t),y=0
Esta é a Eq. (35).

Passo 4

Para ter coeficientes constantes precisamos que
A(t)=l(tfracdxdtr)^2, B(t)=d^2xdt^2+p(t),dxdt, C(t)=q(t)
sejam todos proporcionais a uma mesma constante. Se q(t)>0, podemos escolher a constante de proporcionalidade igual a 1 de modo que
A(t)=C(t)=q(t)
Assim impomos
l(dxdtr)^2=q(t) Longrightarrow dxdt=raizq(t),
e integrando
x=u(t)=integral raizq(t),dt

Passo 5

Com essa escolha temos A(t)=q(t). O coeficiente de dy/dx fica
B(t)A(t) = d^2xdt^2+p,dxdt l(dxdtr)^2
Calculamos
d^2xdt^2 =ddtl(q^1/2r) =12,q^-1/2,q',
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B(t)=12,q^-1/2,q' + p,q^1/2 =;q^-1/2,q'+2,p,q2
Dividindo por A(t)=q, obtemos
B(t)A(t) =q'+2,p,q2,q^3/2
Para que isto seja constante basta exigir que
q'(t)+2,p(t),q(t)q(t)^3/2
seja constante. Este é o resultado desejado.

Passo 6

Se q(t)<0, então raizq(t) não é real. Em vez disso definimos
dxdt=raiz-,q(t),
ou seja
x=integral raiz-,q(t),dt,
e repete-se a mesma derivação. O coeficiente de dy/dx torna-se
q'(t)+2,p(t),q(t)2,l(-q(t)r)^3/2,
que deve ser constante. Em outras palavras, no caso q<0 substituímos raizq por raiz-q e chegamos à condição
q'+2,p,q(-q)^3/2=constante

Resposta

A equação original pode ser convertida numa com coeficientes constantes pela mudança
x=integral raiz|q(t)|,dt
desde que
q'(t)+2,p(t),q(t)q(t)^3/2
(se q>0) ou
q'(t)+2,p(t),q(t)(-q(t))^3/2
(se q<0) seja constante.

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