Considere a função polinomial f dada por f(x)=x(x-1)((x-5)^2+1). Encontre uma reta que seja tangente ao gráfico de f em dois pontos distintos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função polinomial $ f(x) = x(x-1)\left((x-5)^{2}+1\right) $ e precisamos encontrar uma reta que toque o gráfico dessa função em dois pontos diferentes, ou seja, uma reta que seja tangente a $ f(x) $ em dois lugares distintos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangentes e resolver um sistema de equações para achar a equação da reta desejada.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada da função $ f(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos expandir a função $ f(x) $:
f(x)
Agora, multiplicando os termos:
f(x) = x(x-1)((x-5)^2+1) = x(x-1)(x^2 -10x +26)

Passo 4

Calculando a derivada de $ f(x) $:
f(x)
f'(x) = ddx(x^4) - 11ddx(x^3) + 36ddx(x^2) -26ddx(x)

Passo 5

Agora, queremos encontrar uma reta $ y = m x + b $ que seja tangente a $ f(x) $ em dois pontos distintos, digamos $ x = a $ e $ x = b $. Isso significa que nos pontos $ a $ e $ b $:
y = m x + b
f(x)
Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar $ m $ e $ b $.

Passo 6

Subtraindo as equações $ f(a) = m a + b $ e $ f(b) = m b + b $:
f(a) = m a + b
E como $ f’(a) = f’(b) = m $, isso nos ajuda a encontrar a inclinação $ m $.
Além disso, sabemos que a reta deve tocar $ f(x) $ nos dois pontos, então a diferença $ f(x) - (m x + b) $ deve ter raízes duplas em $ x = a $ e $ x = b $.

Passo 7

Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores de $ m $ e $ b $ que satisfazem as condições de tangência dupla.

Resposta

A reta que é tangente ao gráfico de $ f(x) $ em dois pontos distintos é $ y = \frac{11}{2}x - \frac{1}{2} $.

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