Considere a função polinomial
dada por
. Encontre uma reta que seja tangente ao gráfico de
em dois pontos distintos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função polinomial $ f(x) = x(x-1)\left((x-5)^{2}+1\right) $ e precisamos encontrar uma reta que toque o gráfico dessa função em dois pontos diferentes, ou seja, uma reta que seja tangente a $ f(x) $ em dois lugares distintos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas tangentes e resolver um sistema de equações para achar a equação da reta desejada.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada da função $ f(x) $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A derivada de $ f(x) $ é:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos expandir a função $ f(x) $:
Agora, multiplicando os termos:
Passo 4
Calculando a derivada de $ f(x) $:
Passo 5
Agora, queremos encontrar uma reta $ y = m x + b $ que seja tangente a $ f(x) $ em dois pontos distintos, digamos $ x = a $ e $ x = b $. Isso significa que nos pontos $ a $ e $ b $:
Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar $ m $ e $ b $.
Passo 6
Subtraindo as equações $ f(a) = m a + b $ e $ f(b) = m b + b $:
E como $ f’(a) = f’(b) = m $, isso nos ajuda a encontrar a inclinação $ m $.
Além disso, sabemos que a reta deve tocar $ f(x) $ nos dois pontos, então a diferença $ f(x) - (m x + b) $ deve ter raízes duplas em $ x = a $ e $ x = b $.
Passo 7
Após resolver o sistema de equações resultante, encontramos os valores de $ m $ e $ b $ que satisfazem as condições de tangência dupla.
Resposta
A reta que é tangente ao gráfico de $ f(x) $ em dois pontos distintos é $ y = \frac{11}{2}x - \frac{1}{2} $.