Encontre as fórmulas de recorrência e termo geral an das sequências abaixo:
1, 12, 14, 18, 116, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência: 1, 12, 14, 18, 116, ldots. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a fórmula de recorrência dessa sequência e o termo geral an que descreve qualquer termo dessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências geométricas e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a sequência para identificar o padrão. Olhando para os termos:
  • O segundo termo é 12, que é metade do primeiro termo 1.
  • O terceiro termo é 14, que é metade de 12.
  • E assim por diante…
Isso mostra que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 12. Esse tipo de sequência, onde cada termo é um múltiplo fixo do anterior, é chamada de sequência geométrica.

Passo 3

Agora, vamos definir a fórmula de recorrência. Essa fórmula relaciona cada termo com o termo que vem antes dele. Como vimos, cada termo é a metade do anterior, então podemos escrever:
an = 12 cdot an-1
Aqui, an é o termo atual e an-1 é o termo imediatamente anterior.

Passo 4

Para encontrar o termo geral an, que nos permite calcular qualquer termo da sequência sem precisar saber os anteriores, usamos a fórmula do termo geral de uma sequência geométrica. A fórmula geral é:
an = a1 cdot r^n-1
Onde:
  • a1 é o primeiro termo da sequência.
  • r é a razão da sequência (neste caso, 12).
  • n é a posição do termo na sequência.
Substituindo os valores que temos:
an = 1 cdot (12)^n-1
Simplificando:
an = (12)^n-1

Resposta

A fórmula de recorrência da sequência é:
an = 12 cdot an-1, com a1 = 1
E o termo geral da sequência é:
an = (12)^n-1

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