Encontre as fórmulas de recorrência e termo geral
das sequências abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência:
. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a fórmula de recorrência dessa sequência e o termo geral
que descreve qualquer termo dessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências geométricas e como elas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a sequência para identificar o padrão. Olhando para os termos:
- O segundo termo é
, que é metade do primeiro termo . - O terceiro termo é
, que é metade de . - E assim por diante…
Isso mostra que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por
. Esse tipo de sequência, onde cada termo é um múltiplo fixo do anterior, é chamada de sequência geométrica.
Passo 3
Agora, vamos definir a fórmula de recorrência. Essa fórmula relaciona cada termo com o termo que vem antes dele. Como vimos, cada termo é a metade do anterior, então podemos escrever:
Aqui,
é o termo atual e
é o termo imediatamente anterior.
Passo 4
Para encontrar o termo geral
, que nos permite calcular qualquer termo da sequência sem precisar saber os anteriores, usamos a fórmula do termo geral de uma sequência geométrica. A fórmula geral é:
Onde:
-
é o primeiro termo da sequência. -
é a razão da sequência (neste caso, ). -
é a posição do termo na sequência.
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Resposta
A fórmula de recorrência da sequência é:
E o termo geral da sequência é: