Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 4, nenhuma raiz.

Passo 1

O enunciado pede exemplos de polinômios de grau 4 que não tenham raízes reais. O conteúdo é função polinomial e vamos precisar garantir que o polinômio nunca fique zero para qualquer valor real de x.

Passo 2

Um exemplo simples é
f(x)=x^4+1
Aqui o termo x^4 é sempre não negativo e somamos 1, logo f(x)>=1>0 para todo x.

Passo 3

Outro exemplo com “vale de montanha” no meio é
f(x)=x^4-4x^2+5
Basta ver como um polinômio em t=x^2: t^2-4t+5 tem discriminante De, então nunca zera.

Passo 4

Podemos ainda pegar algo como quadrado perfeito mais constante:
f(x)=(x^2+1)^2+1 = x^4+2x^2+2
Aqui (x^2+1)^2>=0 e somamos 1, logo f(x)>=1>0 sempre.

Passo 5

Para variar o “sinal” do gráfico, podemos escolher a concavidade para baixo sem tocar o eixo:
f(x)=-x^4-1
Como -x^4<=0 e somamos -1), temos f(x)<=-1<0 para todo x, ou seja, nenhum zero real.

Resposta

Alguns exemplos de polinômios de grau 4 sem raízes reais são:
  1. x^4+1
  2. x^4-4x^2+5
  3. x^4+2x^2+2
  4. -x^4-1

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