Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 4, apenas 1 raiz;

Passo 1

O enunciado pede exemplos de polinômios de grau 4 que tenham apenas uma raiz real distinta. O conteúdo que vamos usar envolve o Teorema Fundamental da Álgebra, multiplicidade de raízes e o fato de que polinômios reais têm raízes complexas em pares conjugados.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio real de grau 4 tem exatamente quatro raízes (contando multiplicidade). Se quisermos apenas uma raiz real, as outras três devem ser não-reais. Como raízes não-reais vêm em pares conjugados, sobra apenas uma possibilidade: ou a raiz real tem multiplicidade 4, ou tem multiplicidade 2 e as outras duas vêm de uma conjugada complexa.

Passo 3

Para ter somente uma raiz real, podemos então usar duas estratégias principais: (1) dar à raiz real multiplicidade 4; (2) dar à raiz real multiplicidade 2 e escolher um polinômio quadrático irreduzível (com raízes complexas). Em símbolos, podemos construir:
  • Caso multiplicidade 4:
p(x)=(x-a)^4
- Caso multiplicidade 2 + conj. complexas:
p(x)=(x-a)^2l((x-b)^2+c^2r),
onde cneq0 garante as duas raízes não-reais conjugadas.

Passo 4

Agora é só escolher valores diferentes para a,b,c e gerar gráficos com comportamentos diversos.

Resposta

Alguns exemplos de polinômios de grau 4 com apenas uma raiz real são:
  1. p(x)=(x-1)^4
  2. p(x)=(x-2)^2,(x^2+1)
  3. p(x)=(x+3)^2,(x^2+9)
Em cada caso a única raiz real é, respectivamente, x=1,,2,,-3, e as demais raízes são complexas conjugadas.

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