Dê exemplos de polinômios satisfazendo os pedidos de cada item. Tente encontrar vários exemplos para cada item variando os gráficos das funções polinomiais.
grau 4, apenas 1 raiz;
grau 4, apenas 1 raiz;
Passo 1
O enunciado pede exemplos de polinômios de grau 4 que tenham apenas uma raiz real distinta. O conteúdo que vamos usar envolve o Teorema Fundamental da Álgebra, multiplicidade de raízes e o fato de que polinômios reais têm raízes complexas em pares conjugados.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio real de grau 4 tem exatamente quatro raízes (contando multiplicidade). Se quisermos apenas uma raiz real, as outras três devem ser não-reais. Como raízes não-reais vêm em pares conjugados, sobra apenas uma possibilidade: ou a raiz real tem multiplicidade 4, ou tem multiplicidade 2 e as outras duas vêm de uma conjugada complexa.
Passo 3
Para ter somente uma raiz real, podemos então usar duas estratégias principais: (1) dar à raiz real multiplicidade 4; (2) dar à raiz real multiplicidade 2 e escolher um polinômio quadrático irreduzível (com raízes complexas). Em símbolos, podemos construir:
- Caso multiplicidade 4:
- Caso multiplicidade 2 + conj. complexas:
onde
garante as duas raízes não-reais conjugadas.
Passo 4
Agora é só escolher valores diferentes para
e gerar gráficos com comportamentos diversos.
Resposta
Alguns exemplos de polinômios de grau 4 com apenas uma raiz real são:
Em cada caso a única raiz real é, respectivamente,
, e as demais raízes são complexas conjugadas.