Considere a função polinomial
e faça o que se pede.
(b) Fatore o polinômio utilizando a raiz de modo a reescrevê-lo como um produto de uma função de primeiro grau
por uma função de segundo grau
.
(b) Fatore o polinômio utilizando a raiz de modo a reescrevê-lo como um produto de uma função de primeiro grau
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função polinomial
e precisamos fatorá-la usando uma raiz. Isso significa que queremos escrever
como o produto de uma função de primeiro grau
e uma função de segundo grau
. Para isso, vamos usar o conteúdo de fatoração de polinômios e o Teorema das Raízes Racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar encontrar uma raiz racional da função
. O Teorema das Raízes Racionais nos ajuda a listar possíveis candidatos para serem raízes. As raízes racionais possíveis são os divisores do termo constante (que é 6) divididos pelos divisores do coeficiente líder (que é 2). Então, as possíveis raízes são:
.
Passo 3
Vamos testar essas raízes na função para ver se alguma delas resulta em zero:
- Para
: (não é zero) - Para
: (não é zero) - Repetindo esse processo para todos os candidatos, percebemos que nenhuma dessas raízes resulta em zero.
Passo 4
Como não encontramos uma raiz racional, precisamos considerar que a função pode ter raízes irracionais ou complexas. Nesse caso, vamos precisar usar métodos numéricos ou fórmulas mais avançadas para encontrar as raízes reais. Mas, para fatorar, vamos assumir que existe pelo menos uma raiz real
.
Passo 5
Vamos expressar
como o produto de
e um polinômio de segundo grau
. Assim:
Passo 6
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Igualando isso a
, temos:
Passo 7
Igualando os coeficientes correspondentes, obtemos o seguinte sistema de equações:
Passo 8
Da primeira equação, podemos resolver
:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
na terceira equação:
Passo 9
Temos agora uma equação cúbica para
:
Para resolver essa equação, precisaríamos usar métodos numéricos como o Método de Newton-Raphson ou outras técnicas de aproximação, já que não encontramos uma raiz racional.
Resposta
A fatoração do polinômio
utilizando uma raiz real
é dada por:
Onde
é a raiz real da equação
, que pode ser encontrada usando métodos numéricos.