Encontre a equação da reta tangente aos gráficos das funções abaixo nos pontos dados.
f(x)=23 x^3 / 2, ponto: (1,2 / 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar cálculo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f'(x) = 23 cdot 32 x^32 - 1 = x^12 , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A função é . Vamos derivar usando a regra do poder:
Então, a derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto dado, que é f'(1) = raiz1 = 1 . Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 1.

Passo 4

Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e sabendo que a reta passa pelo ponto y - 23 = 1(x - 1) , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
y = x - 1 + 23 = x - 13
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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