Use o Teorema da Função Inversa para calcular as derivadas das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função
usando o Teorema da Função Inversa. Para isso, vamos precisar entender como esse teorema funciona e aplicar alguns conceitos de derivadas e funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Inversa. Esse teorema nos diz que se temos uma função
e sua inversa
, então as derivadas delas estão relacionadas da seguinte forma:
Onde
. Ou seja, a derivada da função inversa no ponto
é igual a 1 dividida pela derivada da função original no ponto
.
Passo 3
No nosso caso, a função dada é
. Vamos chamar a função inversa de
. Sabemos que a função inversa de
é
. Então, se
, isso significa que
.
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação
em relação a
:
Para encontrar
, que é a derivada que queremos, basta inverter a derivada acima:
Passo 5
Mas queremos a derivada em termos de
, não de
. Sabemos que
, então podemos usar a identidade trigonométrica:
Como
, substituímos:
Então:
Resposta
A derivada da função
é: