Use o Teorema da Função Inversa para calcular as derivadas das funções abaixo.
f(x)=arcsen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função usando o Teorema da Função Inversa. Para isso, vamos precisar entender como esse teorema funciona e aplicar alguns conceitos de derivadas e funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Função Inversa. Esse teorema nos diz que se temos uma função (f^-1)'(y) = 1f'(x) e sua inversa , então as derivadas delas estão relacionadas da seguinte forma:
Onde . Ou seja, a derivada da função inversa no ponto é igual a 1 dividida pela derivada da função original no ponto .

Passo 3

No nosso caso, a função dada é . Vamos chamar a função inversa de . Sabemos que a função inversa de é . Então, se , isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação dxdy = cos(y) em relação a dydx = 1cos(y) :
Para encontrar , que é a derivada que queremos, basta inverter a derivada acima:

Passo 5

Mas queremos a derivada em termos de cos^2(y) = 1 - sin^2(y) , não de cos(y) = raiz1 - x^2 . Sabemos que dydx = 1raiz1 - x^2 , então podemos usar a identidade trigonométrica:
Como , substituímos:
Então:

Resposta

A derivada da função f'(x) = 1raiz1 - x^2 é:

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