Considere a função polinomial do segundo grau f: R R definida por f(x)=a x^2+b x+c, com a, b, c in R, a neq 0.
(a) Escreva f na forma canônica: f(x)=a(x-x0)^2+y0, com x0, y0 in R.
(b) Use a forma canônica da função polinomial do segundo grau para:
i. deduzir a fórmula para as raízes de f;
ii. mostrar que (x0, y0) é um ponto de mínimo absoluto de f, se a>0, ou um ponto de máximo absoluto de f, se a<0;
iii. mostrar que a reta vertical x=x0 é um eixo de simetria do gráfico de f, isto é, dado k>0, tem-se f(x-k)=f(x+k).

Passo 1

O enunciado trata de uma função polinomial de segundo grau
f(x)=a x^2+b x+c, com aneq0, e pede:
– na alínea (a) expressar f na forma canônica
f(x)=al(x-x0r)^2+y0,
– na alínea (b) usar essa forma para (i) deduzir a fórmula das raízes de f, (ii) mostrar que l(x0,y0r) é extremum global e (iii) provar que x=x0 é eixo de simetria do gráfico.

Passo 2

Para obter a forma canônica, completamos o quadrado em x:
f(x)=al(x^2+tfracbaxr)+c =al[l(x+tfracb2ar)^2-l(tfracb2ar)^2r]+c
Logo,
f(x)=al(x - x0r)^2 + y0,
onde
x0=-b2a, y0=c - b^24a

Passo 3

Para achar as raízes, impomos f(x)=0 na forma canônica:
al(x - x0r)^2 + y0=0 Longrightarrow l(x - x0r)^2=-y0a
Como -tfracy0a=tfracb^2-4ac4a^2, temos
x - x0=pmraizb^2-4ac2lvert arvert
e, como x0=-tfracb2a,
x=-bpmraizb^2-4ac2a

Passo 4

Na forma canônica, l(x - x0r)^2>=0 para todo x.
Se a>0, então a(x-x0)^2>=0 implica f(x)>= y0=f(x0), ou seja, l(x0,y0r) é mínimo absoluto.
Se a<0, então a(x-x0)^2<=0 implica f(x)<= y0=f(x0), logo é máximo absoluto.

Passo 5

Para simetria, seja k>0. Então
f(x0+k) =al((x0+k)-x0r)^2+y0 =a,k^2+y0
e
f(x0-k) =al((x0-k)-x0r)^2+y0 =a,(-k)^2+y0 =a,k^2+y0
Logo f(x0+k)=f(x0-k), de modo que x=x0 é eixo de simetria.

Resposta

(a) f(x)=al(x - x0r)^2+y0, em que
x0=-b2a e y0=c-b^24a\n
(b)(i) x=-bpmraizb^2-4ac2a\n
(b)(ii) Se a>0, l(x0,y0r) é mínimo absoluto; se a<0, é máximo absoluto.\n
(b)(iii) A reta vertical x=x0 satisfaz f(x0-k)=f(x0+k) para todo k>0, logo é eixo de simetria.

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