Considere a função polinomial do segundo grau
definida por
,
.
(a) Escreva
na forma canônica:
, com
.
(b) Use a forma canônica da função polinomial do segundo grau para:
i. deduzir a fórmula para as raízes de
;
ii. mostrar que
é um ponto de mínimo absoluto de
, se
, ou um ponto de máximo absoluto de
, se
;
iii. mostrar que a reta vertical
é um eixo de simetria do gráfico de
, isto é, dado
, tem-se
.
(a) Escreva
(b) Use a forma canônica da função polinomial do segundo grau para:
i. deduzir a fórmula para as raízes de
ii. mostrar que
iii. mostrar que a reta vertical
Passo 1
O enunciado trata de uma função polinomial de segundo grau
, com
, e pede:
– na alínea (a) expressar na forma canônica
– na alínea (a) expressar
– na alínea (b) usar essa forma para (i) deduzir a fórmula das raízes de
, (ii) mostrar que
é extremum global e (iii) provar que
é eixo de simetria do gráfico.
Passo 2
Para obter a forma canônica, completamos o quadrado em
:
Logo,
onde
Passo 3
Para achar as raízes, impomos
na forma canônica:
Como
, temos
e, como
,
Passo 4
Na forma canônica,
para todo
.
Se , então
implica
, ou seja,
é mínimo absoluto.
Se , então
implica
, logo é máximo absoluto.
Se
Se
Passo 5
Para simetria, seja
. Então
e
Logo
, de modo que
é eixo de simetria.
Resposta
(a)
, em que
e
\n
(b)(i) \n
(b)(ii) Se ,
é mínimo absoluto; se
, é máximo absoluto.\n
(b)(iii) A reta vertical satisfaz
para todo
, logo é eixo de simetria.
(b)(i)
(b)(ii) Se
(b)(iii) A reta vertical