Seja resolver o sistema linear
pelo método da Eliminação de Gauss, com estratégia de pivoteamento parcial:
se
, prove que, após o primeiro estágio,
.
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao resolver o sistema linear
Ax=b pelo método de Gauss com pivoteamento parcial, onde
depois do primeiro estágio (eliminação na primeira coluna) todos os coeficientes atualizados
aij^(1) satisfazem
O conteúdo de teoria que vamos usar é o pivoteamento parcial e a desigualdade triangular para estimar o tamanho dos novos elementos.
Passo 2
Aplicamos pivoteamento parcial na coluna 1: escolhemos uma linha
p tal que
Se
pneq1 , permutamos as linhas 1 e
p . Dessa escolha segue imediatamente que, para todo
i ,
Passo 3
Para cada
i=2,dots,n definimos o multiplicador
Como
l|ai1r|<= l|ap1r| , vem
Passo 4
Após usar
elli para zerar a entrada
(i,1) , os novos elementos da submatriz de linhas e colunas
2 a
n são
Pela desigualdade triangular e pelo fato de
l|aijr|<= M e
l|apjr|<= M , temos
Resposta
Após o primeiro estágio de eliminação com pivoteamento parcial, vale