Considere a função
e o ponto
em seu domínio.
Dados os vetores
e
, em qual das duas direções
varia mais rapidamente a partir de
? Justifique!
Dados os vetores
Passo 1
Temos a função f(x,y)=y/x² e queremos saber em qual direção, entre u=⟨2,−1⟩ e v=⟨1,√3⟩, a variação de f em P(2,2) é maior. O assunto é derivada direcional e vamos precisar do gradiente de f e de vetores unitários nas direções dadas.
Passo 2
Para achar o gradiente, lembramos que ∇f=(∂f/∂x, ∂f/∂y). Como f(x,y)=y/x², calculamos:
Em P(2,2) isso vira
Logo ∇f(2,2)=⟨-1/2,1/4⟩.
Passo 3
Agora precisamos dos versores (vetores unitários). O módulo de u é |u|=√(2²+(-1)²)=√5, então
De modo análogo, |v|=√(1+3)=2, logo
Passo 4
A derivada direcional é D_w f = ∇f·ŵ. Primeiro em u:
Em v:
Passo 5
Comparando as magnitudes, |D_uf|≈0.559 e |D_vf|≈0.0335. A direção u dá variação (negativa) em valor absoluto maior, ou seja, f varia mais rapidamente nessa direção.
Resposta
A função varia mais rapidamente na direção do vetor u=⟨2,−1⟩, pois |D_uf|≈0.559 é maior do que |D_vf|≈0.0335.