Considere a função f(x, y)=yx^2 e o ponto P(2,2) em seu domínio.
Dados os vetores u=lang<= 2,-1rang<= e v=lang<= 1, raiz3rang<=, em qual das duas direções f varia mais rapidamente a partir de P? Justifique!

Passo 1

Temos a função f(x,y)=y/x² e queremos saber em qual direção, entre u=⟨2,−1⟩ e v=⟨1,√3⟩, a variação de f em P(2,2) é maior. O assunto é derivada direcional e vamos precisar do gradiente de f e de vetores unitários nas direções dadas.

Passo 2

Para achar o gradiente, lembramos que ∇f=(∂f/∂x, ∂f/∂y). Como f(x,y)=y/x², calculamos:
∂f/∂x=-2y/x³ ³
∂f/∂y=1/x² ²
Em P(2,2) isso vira
∂f/∂x|(2,2)=-2·2/2³=-4/8=-1/2 ³
∂f/∂y|(2,2)=1/2²=1/4 ²
Logo ∇f(2,2)=⟨-1/2,1/4⟩.

Passo 3

Agora precisamos dos versores (vetores unitários). O módulo de u é |u|=√(2²+(-1)²)=√5, então
û=1√5lang<=2,-1rang<=û
De modo análogo, |v|=√(1+3)=2, logo
v̂=lang<=1/2,raiz3/2rang<=.

Passo 4

A derivada direcional é D_w f = ∇f·ŵ. Primeiro em u:
Duf=lang<=-1/2,1/4rang<=cdot1√5lang<=2,-1rang<==-1/2·2+1/4·(-1)√5=-1-1/4√5=-5/4√5approx -0.559
Em v:
Dvf=lang<=-1/2,1/4rang<=cdotlang<=1/2,raiz3/2rang<==-1/4+raiz38=raiz3-28approx -0.0335.

Passo 5

Comparando as magnitudes, |D_uf|≈0.559 e |D_vf|≈0.0335. A direção u dá variação (negativa) em valor absoluto maior, ou seja, f varia mais rapidamente nessa direção.

Resposta

A função varia mais rapidamente na direção do vetor u=⟨2,−1⟩, pois |D_uf|≈0.559 é maior do que |D_vf|≈0.0335.

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