Resolva os PVIs:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por 6.42 x y y′ + x² = y² com y(0)=0. É uma equação diferencial de primeira ordem não-linear, mas podemos usar a substituição z = y² para torná-la linear em z.
Passo 2
Definindo z = y², então z′ = 2 y y′. Multiplicamos a equação original por 2 para obter 12.84 x y y′ + 2 x² = 2 y². O primeiro termo vira x z′, logo a equação fica:
Passo 3
Colocamos na forma padrão de equação linear em z:
Passo 4
O fator integrante é
Passo 5
Multiplicando tudo por x^{-2} obtemos
Passo 6
Integramos ambos os lados:
Passo 7
Voltando a y, temos
Passo 8
Para aplicar y(0)=0 precisaríamos que y fosse regular em x=0, mas a equação original é singular em x=0 (divide por x). A condição y(0)=0 só se satisfaz no limite x→0 independentemente de C, porém não nos permite determinar C de modo a ter uma solução diferenciável em torno de x=0.
Resposta
A solução geral é
$$y(x)=\pm x\sqrt{C - 2\ln|x|}.
$$
Devido à singularidade em x=0, não é possível escolher C para atender y(0)=0 com uma solução C¹ em torno de x=0, logo o PVI não admite solução não-trivial satisfazendo y(0)=0.
Devido à singularidade em x=0, não é possível escolher C para atender y(0)=0 com uma solução C¹ em torno de x=0, logo o PVI não admite solução não-trivial satisfazendo y(0)=0.