Resolva os PVIs:
6.42 x y y^prime+x^2=y^2, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por 6.42 x y y′ + x² = y² com y(0)=0. É uma equação diferencial de primeira ordem não-linear, mas podemos usar a substituição z = y² para torná-la linear em z.

Passo 2

Definindo z = y², então z′ = 2 y y′. Multiplicamos a equação original por 2 para obter 12.84 x y y′ + 2 x² = 2 y². O primeiro termo vira x z′, logo a equação fica:
x,z' + 2x^2 = 2z

Passo 3

Colocamos na forma padrão de equação linear em z:
z' - 2xz = -2x

Passo 4

O fator integrante é
mu(x) = e^integral -2/x,dx = x^-2

Passo 5

Multiplicando tudo por x^{-2} obtemos
x^-2z' - 2x^-3z = -2x^-1, que é a derivada exata
ddx(x^-2z) = -2x^-1

Passo 6

Integramos ambos os lados:
x^-2z = -2ln|x| + C, portanto a solução geral em z é
z = x^2l(C - 2ln|x|r)

Passo 7

Voltando a y, temos
y^2 = x^2l(C - 2ln|x|r), ou seja
y(x) = pm xraizC - 2ln|x|

Passo 8

Para aplicar y(0)=0 precisaríamos que y fosse regular em x=0, mas a equação original é singular em x=0 (divide por x). A condição y(0)=0 só se satisfaz no limite x→0 independentemente de C, porém não nos permite determinar C de modo a ter uma solução diferenciável em torno de x=0.

Resposta

A solução geral é
$$y(x)=\pm x\sqrt{C - 2\ln|x|}.
$$
Devido à singularidade em x=0, não é possível escolher C para atender y(0)=0 com uma solução C¹ em torno de x=0, logo o PVI não admite solução não-trivial satisfazendo y(0)=0.

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