JUSTIFIQUE E REDIJA ADEQUADAMENTE TODAS AS SUAS SOLUÇÕES.
Para cada caso abaixo, calcule
derivada(s) parcial(is) indicadas:
e
.
Para cada caso abaixo, calcule
Passo 1
O enunciado dá uma equação implícita envolvendo as variáveis x, y e z(x,y):
Temos
Temos
O objetivo é encontrar as derivadas parciais
e
usando diferenciação implícita. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Para achar
, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
, considerando
constante e
. Do lado esquerdo, pela regra da cadeia:
Do lado direito, diferenciando
:
Portanto igualando:
Passo 3
Agora isolamos
. Primeiro, levamos o termo em
para o mesmo lado:
Fatorando
:
Logo,
Passo 4
Para achar
, diferenciamos a mesma equação agora em relação a
, tratando
como constante e lembrando que
. Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Igualando:
Passo 5
Agora isolamos
. Multiplicamos ambos os lados por
e rearranjamos:
Trazendo todos os termos com
para um lado:
Fatorando:
Logo,
Resposta
As derivadas parciais são: