JUSTIFIQUE E REDIJA ADEQUADAMENTE TODAS AS SUAS SOLUÇÕES.
Para cada caso abaixo, calcule a(s) derivada(s) parcial(is) indicadas:
ln (y+z)=x^2 z-y ; zx e zy.

Passo 1

O enunciado dá uma equação implícita envolvendo as variáveis x, y e z(x,y):
Temos
ln(y+z)=x^2z - y
O objetivo é encontrar as derivadas parciais zx e zy usando diferenciação implícita. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Para achar zx, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x, considerando y constante e z=z(x,y). Do lado esquerdo, pela regra da cadeia:
ddxl[ln(y+z)r]=1y+z,(0+zx)=zxy+z
Do lado direito, diferenciando x^2z - y:
ddxl[x^2z - yr]=2x,z + x^2zx - 0
Portanto igualando:
zxy+z=2x z + x^2zx

Passo 3

Agora isolamos zx. Primeiro, levamos o termo em zx para o mesmo lado:
zxy+z - x^2zx=2x z
Fatorando zx:
zxl(1y+z-x^2r)=2xz
Logo,
zx=2x z1y+z-x^2=2x z,(y+z)1 - x^2(y+z)

Passo 4

Para achar zy, diferenciamos a mesma equação agora em relação a y, tratando x como constante e lembrando que d(y)/dy=1. Do lado esquerdo:
ddyl[ln(y+z)r]=1y+z(1+zy)=1+zyy+z
Do lado direito:
ddyl[x^2z - yr]=x^2zy-1
Igualando:
1+zyy+z=x^2zy-1

Passo 5

Agora isolamos zy. Multiplicamos ambos os lados por y+z e rearranjamos:
1+zy=(y+z)(x^2zy-1)=x^2zy(y+z)-(y+z)
Trazendo todos os termos com zy para um lado:
zy-x^2zy(y+z)=-(y+z)-1=-(y+z+1)
Fatorando:
zyl(1 - x^2(y+z)r)=-(y+z+1)
Logo,
zy=-y+z+11 - x^2(y+z)

Resposta

As derivadas parciais são:
zx=2x z,(y+z)1 - x^2(y+z), zy=-y+z+11 - x^2(y+z)

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