Considere a função f(x, y)=yx^2 e o ponto P(2,2) em seu domínio.
Seja Q(2.01,2.01). Calcule a diferença entre a imagem de f e o valor da linearização em Q.

Passo 1

A questão pede para calcular a diferença entre o valor exato de f em Q(2.01,2.01) e a aproximação linear de f em P(2,2) avaliada em Q. O tema aqui é linearização de funções de duas variáveis, que exige calcular derivadas parciais para montar a aproximação afim.

Passo 2

Para montar a linearização, vamos achar as derivadas parciais de f(x,y)=y/x². Derivando em relação a x, tratando y como constante, temos:
fx(x,y)=∂∂xl(y x^-2r)=-2y x^-3=-2yx^3
Derivando em relação a y, tratando x como constante, vem:
fy(x,y)=∂∂yl(y x^-2r)=x^-2=1x^2

Passo 3

Agora avaliaremos f, f_x e f_y no ponto P(2,2). Primeiro,
f§=f(2,2)=2/2^2=2/4=0.5.
Em seguida,
fx(2,2)=-2·22^3=-48=-0.5,
e
fy(2,2)=12^2=14=0.25

Passo 4

Com esses valores, a linearização L(x,y) de f em P é dada por
L(x,y)=f(2,2)+fx(2,2),(x-2)+fy(2,2),(y-2)
Substituindo f(2,2)=0.5, f_x(2,2)=-0.5 e f_y(2,2)=0.25, obtemos
L(x,y)=0.5-0.5,(x-2)+0.25,(y-2)

Passo 5

Agora vamos avaliar L em Q(2.01,2.01) e também calcular f(2.01,2.01).
Para L(Q):
L(2.01,2.01)=0.5-0.5times0.01+0.25times0.01=0.5-0.005+0.0025=0.4975
Para f(Q):
f(2.01,2.01)=2.01/(2.01)^2=20100/40401≈0.49751244.

Passo 6

Por fim, a diferença entre o valor exato e a aproximação linear em Q é
f(2.01,2.01)-L(2.01,2.01)≈0.49751244-0.4975=1.244×10^-5

Resposta

f(2.01,2.01) - L(2.01,2.01) ≈ 1.24×10^{-5}

Exercícios relacionados