Considere a função
e o ponto
em seu domínio.
Seja
. Calcule a diferença entre a imagem de
e o valor da linearização em
.
Seja
Passo 1
A questão pede para calcular a diferença entre o valor exato de f em Q(2.01,2.01) e a aproximação linear de f em P(2,2) avaliada em Q. O tema aqui é linearização de funções de duas variáveis, que exige calcular derivadas parciais para montar a aproximação afim.
Passo 2
Para montar a linearização, vamos achar as derivadas parciais de f(x,y)=y/x². Derivando em relação a x, tratando y como constante, temos:
Derivando em relação a y, tratando x como constante, vem:
Passo 3
Agora avaliaremos f, f_x e f_y no ponto P(2,2). Primeiro,
f§=f(2,2)=2/2^2=2/4=0.5.
Em seguida,
f§=f(2,2)=2/2^2=2/4=0.5.
Em seguida,
e
Passo 4
Com esses valores, a linearização L(x,y) de f em P é dada por
Substituindo f(2,2)=0.5, f_x(2,2)=-0.5 e f_y(2,2)=0.25, obtemos
Passo 5
Agora vamos avaliar L em Q(2.01,2.01) e também calcular f(2.01,2.01).
Para L(Q):
Para L(Q):
Para f(Q):
f(2.01,2.01)=2.01/(2.01)^2=20100/40401≈0.49751244.
Passo 6
Por fim, a diferença entre o valor exato e a aproximação linear em Q é
Resposta
f(2.01,2.01) - L(2.01,2.01) ≈ 1.24×10^{-5}