Considere uma função positiva f de domínio R-2, cujo gráfico contém o ponto (pi,3). Além disso, conhece-se sua derivada f^prime(x)=x-2(x+2)^2. Acerca da função f, determine:
os intervalos onde f é crescente/descrescente e os extremos locais;

Passo 1

O enunciado nos dá uma função positiva f com domínio R-2, satisfazendo f(pi)=3 e f'(x)=x-2(x+2)^2. Queremos usar o teste da derivada para achar onde f cresce/decresce e identificar extremos locais.

Passo 2

Precisamos olhar onde f'(x)=0 ou f'(x) é indefinida. O numerador x-2=0 em x=2, que não está no domínio. O denominador (x+2)^2 só se anula em x=-2, mas f está definida ali, então é uma singularidade da derivada.

Passo 3

Note que (x+2)^2>0 para todo xneq -2. Logo o sinal de f'(x) vem só de x-2. Para x<2 temos x-2<0 e assim f'(x)<0. Para x>2 temos x-2>0 e f'(x)>0.

Passo 4

Concluímos que f é decrescente em (-infty,2) e crescente em (2,infty). Note que a descontinuidade em x=-2 não muda o sinal de f', portanto o decrescimento vale tanto em (-infty,-2) como em (-2,2).

Passo 5

Para extremos locais verificar troca de sinal de f' em pontos críticos: em x=2 f' muda de negativo para positivo, mas x=2 não está no domínio, então não gera extremo. Em x=-2 não há troca de sinal (fica negativo dos dois lados), logo não há extremos locais.

Resposta

f é decrescente em (-∞,2) e crescente em (2,∞). Não há extremos locais.

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