Considere uma função positiva
de domínio
, cujo gráfico contém o ponto
. Além disso, conhece-se sua derivada
. Acerca da função
, determine:
os intervalos onde
é crescente/descrescente e os extremos locais;
os intervalos onde
Passo 1
O enunciado nos dá uma função positiva f com domínio
, satisfazendo
e
. Queremos usar o teste da derivada para achar onde f cresce/decresce e identificar extremos locais.
Passo 2
Precisamos olhar onde
ou
é indefinida. O numerador
em
, que não está no domínio. O denominador
só se anula em
, mas f está definida ali, então é uma singularidade da derivada.
Passo 3
Note que
para todo
. Logo o sinal de
vem só de
. Para
temos
e assim
. Para
temos
e
.
Passo 4
Concluímos que f é decrescente em
e crescente em
. Note que a descontinuidade em
não muda o sinal de
, portanto o decrescimento vale tanto em
como em
.
Passo 5
Para extremos locais verificar troca de sinal de
em pontos críticos: em
muda de negativo para positivo, mas
não está no domínio, então não gera extremo. Em
não há troca de sinal (fica negativo dos dois lados), logo não há extremos locais.
Resposta
f é decrescente em (-∞,2) e crescente em (2,∞). Não há extremos locais.