Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Encontre os pontos do astroide x^23+y^23=1 que possuem reta tangente paralela à reta y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos do astroide definido pela equação $ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 $ onde a reta tangente é paralela à reta $ y = x $. Vamos usar conceitos de derivadas para achar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função que define o astroide para saber a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Como a equação é $ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 $, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $.
Derivando, temos:
x^23 + y^23 = 1

Passo 3

Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $ para encontrar a inclinação da reta tangente:
dydx
23y^-13 cdot dydx = -23x^-13

Passo 4

Queremos que a reta tangente seja paralela à reta $ y = x $. Sabemos que a inclinação dessa reta é 1. Então, igualamos a derivada a 1:
y = x
-( yx )^13 = 1
( yx )^13 = -1
yx = (-1)^3 = -1

Passo 5

Agora que sabemos que $ y = -x $, vamos substituir essa relação na equação original do astroide para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.
Substituindo:
y = -x
x
y
x^23 + (-x)^23 = 1
x^23 + x^23 = 1
2x^23 = 1

Passo 6

Usando $ y = -x $, temos:
y = -x

Resposta

Os pontos do astroide $ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 $ com reta tangente paralela à reta $ y = x $ são:
x^23 + y^23 = 1

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