Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Encontre os pontos do astroide
que possuem reta tangente paralela à reta
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Encontre os pontos do astroide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos do astroide definido pela equação $ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 $ onde a reta tangente é paralela à reta $ y = x $. Vamos usar conceitos de derivadas para achar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função que define o astroide para saber a inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Como a equação é $ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 $, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $.
Derivando, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $ para encontrar a inclinação da reta tangente:
Passo 4
Queremos que a reta tangente seja paralela à reta $ y = x $. Sabemos que a inclinação dessa reta é 1. Então, igualamos a derivada a 1:
Passo 5
Agora que sabemos que $ y = -x $, vamos substituir essa relação na equação original do astroide para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.
Substituindo:
Passo 6
Usando $ y = -x $, temos:
Resposta
Os pontos do astroide $ x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 $ com reta tangente paralela à reta $ y = x $ são: