Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função abaixo:
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja,
,
e
. Para isso, vamos primeiro calcular as derivadas de primeira ordem aplicando regra da cadeia e produto, e depois derivar novamente cada resultado.
Passo 2
Derivando
em relação a
:
Para , use a regra da cadeia: derivada de
é
vezes
, com
e
. Logo
Para
Derivada de
em relação a
é
. Derivada de
é
. Assim,
Passo 3
Derivando
em relação a
:
Para , agora
, então
Para
Derivada de
em relação a
é
. Derivada de
é
. Portanto,
Passo 4
Derivando
em relação a
para obter
:
.
Derivada de é produto de constante
por derivada de
, que é
vezes
. Dá
. Derivada de
é 0 e de
é (-12y). Então
Derivada de
Passo 5
Derivando
em relação a
para obter
:
.
Derivada de é
vezes derivada de
(que é
), resultando em
. Derivada de
é
. Logo
Derivada de
Passo 6
Derivando
em relação a
para obter
:
.
Derivada de usa produto: derivada de
é
vezes
mais
vezes derivada de
(
). Fica
. Derivada de
é
e de
é
. Assim
Derivada de
Note que
pela igualdade das derivadas mistas contínuas.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: