Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função abaixo:
f(x, y)=cos (x y)+3 x y^2-6 x^2 y

Passo 1

Temos a função f(x,y)=cos(xy)+3xy^2-6x^2y. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, ou seja, fxx, fxy e fyy. Para isso, vamos primeiro calcular as derivadas de primeira ordem aplicando regra da cadeia e produto, e depois derivar novamente cada resultado.

Passo 2

Derivando f em relação a x:
Para cos(xy), use a regra da cadeia: derivada de cos(u) é -sin(u) vezes du/dx, com u=xy e du/dx=y. Logo
partialpartial xcos(xy)=-ysin(xy)
Derivada de 3xy^2 em relação a x é 3y^2. Derivada de -6x^2y é -12xy. Assim,
fx=-ysin(xy)+3y^2-12xy

Passo 3

Derivando f em relação a y:
Para cos(xy), agora du/dy=x, então
partialpartial ycos(xy)=-xsin(xy)
Derivada de 3xy^2 em relação a y é 6xy. Derivada de -6x^2y é -6x^2. Portanto,
fy=-xsin(xy)+6xy-6x^2

Passo 4

Derivando fx em relação a x para obter fxx:
fx=-ysin(xy)+3y^2-12xy.
Derivada de -ysin(xy) é produto de constante -y por derivada de sin(xy), que é cos(xy) vezes du/dx=y. Dá -y^2cos(xy). Derivada de 3y^2 é 0 e de -12xy é (-12y). Então
fxx=-y^2cos(xy)-12y

Passo 5

Derivando fy em relação a y para obter fyy:
fy=-xsin(xy)+6xy-6x^2.
Derivada de -xsin(xy) é -x) vezes derivada de sin(xy) (que é cos(xy)cdot x), resultando em -x^2cos(xy). Derivada de 6xy é 6x. Logo
fyy=-x^2cos(xy)+6x

Passo 6

Derivando fx em relação a y para obter fxy:
fx=-ysin(xy)+3y^2-12xy.
Derivada de -ysin(xy) usa produto: derivada de -y é -1) vezes sin(xy) mais -y) vezes derivada de sin(xy) ( cos(xy)cdot x). Fica -sin(xy)-xycos(xy). Derivada de 3y^2 é 6y e de -12xy é -12x. Assim
fxy=-sin(xy)-xycos(xy)+6y-12x
Note que fyx=fxy pela igualdade das derivadas mistas contínuas.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx(x,y)=-y^2cos(xy)-12y, fxy(x,y)=-sin(xy)-xycos(xy)+6y-12x, fyy(x,y)=-x^2cos(xy)+6x

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