(a) Se y=\operatorname{arctg} x, mostre que \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{1+x^{2}}.
(b) Encontre a linearização de f(x)=\operatorname{arctg}(\sqrt{x}) em a=1.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) mostrar que, para y=\arctan x, vale
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}.
Isso envolve diferenciação implícita e conhecimento de identidades trigonométricas.
(b) encontrar a linearização de
f(x)=\arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr)
em a=1. Para isso usamos a fórmula de linearização
L(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a)
e precisamos aplicar a regra da cadeia para f'(x).

Passo 2

Para (a) definimos y=\arctan x, que é equivalente a
\tan y = x.
Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
\operatorname{sec}^2 y\,\frac{dy}{dx}=1.
Como \operatorname{sec}^2 y=1+\tan^2 y e \tan y=x, temos
\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\operatorname{sec}^2 y} =\frac{1}{1+\tan^2 y} =\frac{1}{1+x^2}.

Passo 3

Para (b) aplicamos a regra da cadeia em
f(x)=\arctan\bigl(\sqrt{x}\bigr).
Primeiro note que \sqrt{x}=x^{1/2}. Logo
f'(x) =\frac{1}{1+\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2}\,\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr) =\frac{1}{1+x}\,\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Agora avaliamos em a=1:
f(1)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}, \quad f'(1)=\frac{1}{1+1}\,\cdot\frac{1}{2\cdot1}=\frac14.
Portanto a linearização em a=1 é
L(x) =f(1)+f'(1)\,(x-1) =\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\,(x-1).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}.
(b) \displaystyle L(x)=\frac{\pi}{4}+\frac{x-1}{4}.

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