(a) Se
, mostre que
.
(b) Encontre a linearização de
em
.
(b) Encontre a linearização de
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) mostrar que, para , vale
(a) mostrar que, para
Isso envolve diferenciação implícita e conhecimento de identidades trigonométricas.
(b) encontrar a linearização de
(b) encontrar a linearização de
em
. Para isso usamos a fórmula de linearização
e precisamos aplicar a regra da cadeia para
.
Passo 2
Para (a) definimos
, que é equivalente a
Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Como
e
, temos
Passo 3
Para (b) aplicamos a regra da cadeia em
Primeiro note que
. Logo
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Portanto a linearização em
é
Resposta
(a)
(b)
(b)