Desafio: A regra de L
sendo
uma constante positiva. Mostre que esse limite é igual a
.
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
com
. O tema é limites que geram forma indeterminada 0/0 e vamos usar a regra de l’Hôpital, que requer derivar numerador e denominador.
Passo 2
Substituindo
vemos que o numerador e o denominador viram zero:
Numerador: .
Denominador: .
Numerador:
Denominador:
Passo 3
A regra de l’Hôpital diz que se
ou
e
existe, então
Aqui temos 0/0, então vamos calcular as derivadas.
Passo 4
Derivando numerador
e denominador
:
$$f’(x) = \frac{2a^3 - 4x3}{2\sqrt{2a3x - x^4}} ;-
a\cdot\frac{1}{3}(a2x){-2/3}\cdot a^2 = \frac{2a^3 - 4x3}{2\sqrt{2a3x - x^4}} - \frac{a3}{3(a2x)^{2/3}},$$
Passo 5
Agora avaliamos em
:
Passo 6
Portanto, pelo quociente das derivadas, obtemos