Desafio: A regra de L
lim x a raiz2 a^3 x-x^4-a raiz[3]a^2 xa-raiz[4]a x^3
sendo a uma constante positiva. Mostre que esse limite é igual a 16 a9.

Passo 1

O problema pede para calcular o limite limxto araiz2a^3x - x^4 - araiz[3]a^2xa - raiz[4]ax^3 com a>0. O tema é limites que geram forma indeterminada 0/0 e vamos usar a regra de l’Hôpital, que requer derivar numerador e denominador.

Passo 2

Substituindo x=a vemos que o numerador e o denominador viram zero:
Numerador: raiz2a^4 - a^4 - araiz[3]a^3 = a^2 - a^2 = 0.
Denominador: a - raiz[4]acdot a^3 = a - a = 0.

Passo 3

A regra de l’Hôpital diz que se limxto af(x)=limxto ag(x)=0 ou pminfty e limxto af'(x)g'(x) existe, então
limxto af(x)g(x) = limxto af'(x)g'(x)
Aqui temos 0/0, então vamos calcular as derivadas.

Passo 4

Derivando numerador f(x)=raiz2a^3x - x^4 - a(a^2x)^1/3 e denominador g(x)=a - (ax^3)^1/4:
$$f’(x) = \frac{2a^3 - 4x3}{2\sqrt{2a3x - x^4}} ;-
a\cdot\frac{1}{3}(a2x){-2/3}\cdot a^2 = \frac{2a^3 - 4x3}{2\sqrt{2a3x - x^4}} - \frac{a3}{3(a2x)^{2/3}},$$
f'(x) = 2a^3 - 4x^32raiz2a^3x - x^4 ;- acdot13(a^2x)^-2/3cdot a^2 = 2a^3 - 4x^32raiz2a^3x - x^4 - a^33(a^2x)^2/3,

Passo 5

Agora avaliamos em x=a:
f'(a) = 2a^3 - 4a^32a^2 - a^33a^2 = -a - a3 = -4a3,
g'(a) = -3acdot a^24(a^4)^3/4 = -3a^34a^3 = -34

Passo 6

Portanto, pelo quociente das derivadas, obtemos
limxto af(x)g(x) = f'(a)g'(a) = -tfrac4a3-tfrac34 = 16a9

Resposta

16a9

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