Considere a função \qquad /2,5 pts)
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x^{3}+x y^{4}}{x^{2}+y^{4}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 4, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
(a) Calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
(b) Calcule o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(2,-3)} f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
(c) f é contínua em (0,0) ? Justifique.
(d) f é contínua em (2,-3) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}+x\,y^{4}}{x^{2}+y^{4}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 4,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
(a) \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) ou mostrar que não existe;
(b) \lim_{(x,y)\to(2,-3)}f(x,y) ou mostrar que não existe;
(c) verificar continuidade em (0,0);
(d) verificar continuidade em (2,-3).
O conteúdo é cálculo de limites em várias variáveis e critério de continuidade.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) note que
x^{3}+x\,y^{4}=x\bigl(x^{2}+y^{4}\bigr),
logo
f(x,y) =\frac{x\,(x^{2}+y^{4})}{x^{2}+y^{4}} =x.

Passo 3

Como para todo (x,y)\neq(0,0) vale f(x,y)=x, temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}x =0.

Passo 4

De modo semelhante, para qualquer ponto (2,-3)\neq(0,0) vale f(x,y)=x, então
\lim_{(x,y)\to(2,-3)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(2,-3)}x =2.

Passo 5

Para continuidade em (0,0) precisamos de \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0).
Encontramos \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0 mas f(0,0)=4, logo não coincidem e a função é descontínua em (0,0).

Passo 6

Para continuidade em (2,-3) basta ver que \lim_{(x,y)\to(2,-3)}f(x,y)=2 e f(2,-3)=\frac{2^{3}+2\cdot(-3)^{4}}{2^{2}+(-3)^{4}} =\frac{8+2\cdot81}{4+81} =\frac{170}{85}=2.
Como limite e valor se igualam, f é contínua em (2,-3).

Resposta

(a) 0
(b) 2
(c) Não;
(d) Sim.

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