Encontre a soma da série dada.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}.
Reconhecemos que isso é uma série geométrica, de modo que precisamos identificar o primeiro termo e a razão.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral temos
\frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3}\,\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n-1}.
Assim a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{n-1} = \frac{1}{3}\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)^{k},
onde o primeiro termo é a=\tfrac{1}{3} e a razão é r=\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Como \lvert r\rvert=\tfrac{2}{3}<1, aplicamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
\sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac{1}{1-r}.
Portanto,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{2}{3}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\tfrac{1}{3}} =1.

Resposta

1

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