Encontre a soma da série dada.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}}.
O conteúdo envolvido é soma de uma progressão geométrica (PG) infinita. Para resolver, vamos expressar a série na forma padrão de uma PG e usar sua fórmula de soma.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral como potência, temos
\frac{2}{5^{n-1}} = 2\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^{n-1}.
Portanto a série é
\sum_{n=1}^{\infty} 2\Bigl(\frac{1}{5}\Bigr)^{n-1},
onde o primeiro termo é a=2 e a razão é r=\tfrac{1}{5}.

Passo 3

A soma de uma PG infinita com |r|<1 é dada por
S = \frac{a}{1-r}.
Substituindo a=2 e r=\tfrac{1}{5}, temos
S = \frac{2}{1 - \tfrac{1}{5}}.

Passo 4

Calculando o denominador,
1 - \tfrac{1}{5} = \tfrac{4}{5},
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S = \frac{2}{\tfrac{4}{5}} = 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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