Determine se a sequência é ou não convergente e caso sefa incontre o limite
a n=\frac{n \operatorname{sen}(n)}{n^{2}+1}=

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_n = \frac{n \,\operatorname{sen}(n)}{n^2 + 1}
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, determinar o seu limite. O conteúdo principal aqui é análise de limites de sequência usando a propriedade de que \operatorname{sen}(n) é sempre limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Vamos estimar o valor absoluto de a_n. Sabemos que
-1 \le \operatorname{sen}(n) \le 1
portanto
\bigl|a_n\bigr| = \left|\frac{n\,\operatorname{sen}(n)}{n^2+1}\right| \le \frac{n\cdot 1}{n^2+1} = \frac{n}{n^2+1}.

Passo 3

Agora calculamos o limite da sequência de termos superiores \tfrac{n}{n^2+1}. Observe que, dividindo numerador e denominador por n, temos
\frac{n}{n^2+1} = \frac{1}{n + \tfrac1n}
e como n\to\infty, n + \tfrac1n \to \infty, logo
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n^2+1} = 0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), como
-\frac{n}{n^2+1} \;\le\; a_n \;\le\; \frac{n}{n^2+1}
e ambos os limites das sequências de fronteira são 0, conclui-se que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Resposta

A sequência \displaystyle a_n=\frac{n\,\operatorname{sen}(n)}{n^2+1} é convergente e seu limite é 0.

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