Considere a seguinte equação diferencial:
com
e
sendo números reais distintos de zero. Determine a solução geral dessa equação diferencial e dê um exemplo de solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por $ y’ = b - a y $, onde $ a $ e $ b $ são números reais diferentes de zero. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e também dar um exemplo de uma solução específica. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos como o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que estamos lidando. A equação $ y’ = b - a y $ é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Em geral, esse tipo de equação tem a forma $ y’ + P(x)y = Q(x) $. No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
Aqui, $ P(x) = a $ e $ Q(x) = b $.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Esse fator nos ajuda a tornar a equação diferencial exata, facilitando a integração.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{a x} y $. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
Isso resulta em:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Para isolar $ y $, dividimos ambos os lados por $ e^{a x} $:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.
Exemplo de solução particular:
Vamos supor que $ a = 2 $ e $ b = 4 $. Substituindo esses valores na solução geral, temos:
Se considerarmos $ C = 3 $, então a solução particular é: