Considere a seguinte equação diferencial:
y^prime=b-a y,
com a e b sendo números reais distintos de zero. Determine a solução geral dessa equação diferencial e dê um exemplo de solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por $ y’ = b - a y $, onde $ a $ e $ b $ são números reais diferentes de zero. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e também dar um exemplo de uma solução específica. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos como o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que estamos lidando. A equação $ y’ = b - a y $ é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Em geral, esse tipo de equação tem a forma $ y’ + P(x)y = Q(x) $. No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
y' = b - a y
Aqui, $ P(x) = a $ e $ Q(x) = b $.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Esse fator nos ajuda a tornar a equação diferencial exata, facilitando a integração.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^a x y' + a e^a x y = b e^a x
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ e^{a x} y $. Ou seja:
e^a x y

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a $ x $:
x
Isso resulta em:
integral ddx ( e^a x y ) dx = integral b e^a x dx
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Para isolar $ y $, dividimos ambos os lados por $ e^{a x} $:
y
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = ba + C e^-a x
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.
Exemplo de solução particular:
Vamos supor que $ a = 2 $ e $ b = 4 $. Substituindo esses valores na solução geral, temos:
C
Se considerarmos $ C = 3 $, então a solução particular é:
a = 2

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