Determine se existe um valor de a para o qual f(x) é contínua em x=2. Se sim, encontre os valores para a; se não, justifique.
Passo 1
O enunciado define uma função por partes em torno de x=2 e pede continuidade em x=2. Para isso precisamos lembrar que f é contínua em x=2 se, e somente se, o limite pela esquerda, o valor em x=2 e o limite pela direita coincidirem. Vamos precisar calcular esses limites e igualá-los a f(2).
Passo 2
Para x>2, temos f(x) = (x²−4)/(x−2). Podemos fatorar o numerador:
x^2 - 4 = (x-2)(x+2)
Logo, para x≠2, x^2 - 4x - 2 = x + 2
Portanto o limite pela direita é
limxto2^+ f(x) = limxto2^+ (x+2) = 4
Passo 3
Para x<2, temos f(x)=\sqrt{a x^3 + 10x}. Logo o limite pela esquerda é dado por substituir x=2:
limxto2^- f(x) = raizacdot2^3 + 10cdot2 = raiz8a + 20
Além disso, para esse limite existir real, precisamos de 8a + 20 >= 0 Longrightarrow a >= -tfrac52
Passo 4
Para continuidade, devemos ter
raiz8a + 20 = 4
Elevando ao quadrado: 8a + 20 = 16 Longrightarrow a = -tfrac12
Passo 5
Agora impomos que o valor no ponto f(2)=a²−3a também seja igual a 4:
a^2 - 3a = 4 Longrightarrow a^2 - 3a - 4 = 0 Longrightarrow a = 4 ou a = -1
Não há interseção entre os valores obtidos (a=−1/2 para os limites e a=4 ou −1 para f(2)). Portanto não existe valor de a que satisfaça simultaneamente as três igualdades de continuidade.
Resposta
Não existe nenhum valor de a que torne f(x) contínua em x=2.