Encontre a solução do problema de valor inicial:
l 4 y^prime prime-8 y^prime+3 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=12
Escolha uma opção:
y=-1-e^-3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
4 y'' - 8 y' + 3 y = 0
E as condições iniciais são:
y(0) = 2 e y'(0) = 12
Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação diferencial e depois usar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1. Assim, a equação fica:
y''

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r
Então, temos duas soluções:
r = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 4 cdot 32 cdot 4 = 8 pm raiz64 - 488 = 8 pm raiz168 = 8 pm 48

Passo 4

Com os valores de $ r $, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
r
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial, $ y(0) = 2 $:
y(0) = 2
Então, temos a equação:
y(0) = C1 e^32 cdot 0 + C2 e^12 cdot 0 Rightarrow 2 = C1 + C2 çã

Passo 6

Agora, vamos derivar a solução geral para aplicar a segunda condição inicial. Derivando $ y(t) $:
y(t)
Aplicando $ y’(0) = \frac{1}{2} $:
y'(t) = 32 C1 e^32 t + 12 C2 e^12 t
Multiplicando toda a equação por 2 para simplificar:
y'(0) = 12 çã

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
C1 + C2 = 2 3 C1 + C2 = 1
Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
(3 C1 + C2) - (C1 + C2) = 1 - 2 Rightarrow 2 C1 = -1 Rightarrow C1 = -12

Passo 8

Com $ C_1 = -\frac{1}{2} $, substituímos na Equação 1 para encontrar $ C_2 $:
C1 = -12

Passo 9

Agora que temos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, substituímos na solução geral:
C1

Passo 10

Simplificando a expressão, podemos fatorar $ \frac{1}{2} $:
12
Mas, para deixar de uma forma mais simples, mantemos a forma anterior.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = -12 e^32 t + 52 e^12 t

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