Resumo do enunciado: temos o problema de valor inicial dado por
4y''-8y'+3y=0,
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=tfrac12. Isso é uma equação diferencial linear homogenéa de segunda ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a equação característica para resolver.
Passo 2
Achar a equação característica associada. Substituímos y=e^rt em
4r^2e^rt-8re^rt+3e^rt=0,
que leva a
4r^2-8r+3=0
Passo 3
Resolver a equação quadrática
4r^2-8r+3=0
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é De, logo as raízes são
r=8pm48=rac128=32 e 48=12
Passo 4
Escrever a solução geral como combinação linear das exponenciais:
y(t)=C1e^tfrac3t2+C2e^tfract2
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar C1 e C2. De y(0)=2 vem
C1+C2=2,
e de y'(t)=tfrac32C1e^tfrac3t2+tfrac12C2e^tfract2, a condição y'(0)=tfrac12 dá
32C1+12C2=12
Resolvendo o sistema
C1+C2=2, 3C1+C2=1,
obtém-se C1=-tfrac12 e C2=tfrac52.
Passo 6
Substituir C1 e C2 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais.