Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial
certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável
Escolha uma opção: -infty 3
Nenhuma das demais alternativas 0 2 0
Passo 1
Então, galera, a gente tem um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. A questão é descobrir qual o maior intervalo de $ t $ onde essa equação tem uma solução única que é duas vezes diferenciável. Para isso, vamos precisar entender sobre existência e unicidade de soluções para equações diferenciais, e identificar onde os coeficientes da equação são bem comportados.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação diferencial dada:
(t-3) y'' + t y' + (ln |t|) y = 0
E os valores iniciais:
y(-1) = 0 y'(-1) = 1
Aqui, $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $, e $ y’ $ a primeira derivada.
Passo 3
Para garantir que existe uma solução única e duas vezes diferenciável nesse intervalo, precisamos que os coeficientes da equação sejam contínuos nesse intervalo e que o coeficiente de $ y’’ $ não seja zero.
Analisando os coeficientes:
$ \frac{1}{t-3} $: esse termo aparece se reorganizarmos a equação para ficar na forma padrão:
y''
Precisamos que $ t - 3 \neq 0 $, ou seja, $ t \neq 3 $.
$ \ln |t| $: o logaritmo natural está definido para $ t > 0 $.
Passo 4
Então, para que todos os coeficientes sejam contínuos e o denominador $ t - 3 $ não seja zero, devemos ter:
$ t \neq 3 $
$ t > 0 $
Isso nos dá dois intervalos potenciais:
De $ 0 $ até $ 3 $ ( $ 0 < t < 3 $ )
De $ 3 $ em diante ( $ t > 3 $ )
Passo 5
Agora, vamos verificar onde os valores iniciais estão. Os valores são dados em $ t = -1 $. Mas note que $ t = -1 $ não está no intervalo $ t > 0 $. Isso significa que precisamos considerar a continuidade dos coeficientes a partir de $ t = -1 $.
Porém, o logaritmo natural $ \ln |t| $ exige que $ t > 0 $. Portanto, a solução só existe em $ t > 0 $.
Passo 6
Além disso, como o ponto $ t = 3 $ faz o coeficiente de $ y’’ $ se tornar zero, precisamos excluir esse ponto do intervalo para garantir que a solução seja única.
Passo 7
Portanto, o maior intervalo onde a solução existe, é única e duas vezes diferenciável é $ 0 < t < 3 $.