Considere a função real f(x)=ln (1+x), definida para todo x in(-1, infty). Essa função tem uma expansão em série de Taylor, em torno de a=0, dada por
ln (1+x)=sumn=1^infty (-1)^n-1n x^n
Aplique o teste da razão e conclua que a série converge para |x|<1. Isso nos diz que a representação dada pela equação (1) é válida apenas nesse intervalo.

Passo 1

O enunciado nos pede para usar o teste da razão na série de Taylor de ln(1+x) em torno de a=0, cuja forma é
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1nx^n
O objetivo é determinar o raio de convergência e concluir que essa expansão vale apenas onde |x|<1.

Passo 2

Vamos chamar o termo geral da série de
an = (-1)^n-1nx^n
O teste da razão pede que a gente analise o limite
L = limntoinfty|an+1an|

Passo 3

Substituindo an+1 e an temos
|an+1an| = |(-1)^nn+1x^n+1 cdot n(-1)^n-1x^n| = nn+1|x|
e, portanto,
L = limntoinftynn+1|x| = |x|

Passo 4

Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja,
|x|<1
Logo, o raio de convergência é R=1 e a expansão em série de Taylor de ln(1+x) só vale para |x|<1.

Resposta

A série converge se e somente se |x|<1, logo a representação é válida apenas para esse intervalo.

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