Considere a função real
, definida para todo
. Essa função tem uma expansão em série de Taylor, em torno de
, dada por
Aplique o teste da razão e conclua que a série converge para
. Isso nos diz que a representação dada pela equação (1) é válida apenas nesse intervalo.
Passo 1
O enunciado nos pede para usar o teste da razão na série de Taylor de
em torno de
, cuja forma é
O objetivo é determinar o raio de convergência e concluir que essa expansão vale apenas onde
.
Passo 2
Vamos chamar o termo geral da série de
O teste da razão pede que a gente analise o limite
Passo 3
Substituindo
an+1 e
an temos
e, portanto,
Passo 4
Pelo teste da razão, a série converge se
L<1 , ou seja,
Logo, o raio de convergência é
R=1 e a expansão em série de Taylor de
ln(1+x) só vale para
|x|<1 .
Resposta
A série converge se e somente se |x|<1, logo a representação é válida apenas para esse intervalo.