Considere a série geométrica
.
Mostre que a sequência de somas parciais converge se
e que, para esse caso, a soma da série é
Dica: Divida em casos:
e
. Analise como o termo
se comporta no limite
dependendo do valor de
.
Mostre que a sequência de somas parciais converge se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente analisar a série geométrica
. O conteúdo aqui é de séries geométricas, e a gente vai precisar entender quando essa série converge, ou seja, quando a soma dos seus termos chega num valor fixo. A dica sugere dividir em dois casos: quando $ q < 0 $ e quando $ q \geq 0 $. Vamos precisar ver como $ q^{n} $ se comporta quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma soma dos termos que têm uma razão constante entre si, que no caso é $ q $. A série geral é $ \sum_{n=0}^{\infty} q^{n} = 1 + q + q^{2} + q^{3} + \dots $. Queremos saber quando essa soma converge, ou seja, quando ela não vai ao infinito.
Passo 3
Vamos começar analisando o caso em que $ q \geq 0 $. Se $ q $ é positivo, $ q^{n} $ vai diminuindo conforme $ n $ aumenta, desde que $ q < 1 $. Por exemplo, se $ q = 0.5 $, temos $ 0.5^{n} $ que fica cada vez menor.
Passo 4
Agora, se $ q \geq 1 $, digamos $ q = 1 $, a série se torna $ 1 + 1 + 1 + \dots $, que claramente não converge, já que a soma cresce sem parar. Se $ q > 1 $, os termos $ q^{n} $ crescem exponencialmente, fazendo a soma também ir para o infinito.
Passo 5
Vamos para o caso de $ q < 0 $. Aqui, os termos $ q^{n} $ alternam sinais: se $ q = -0.5 $, temos $ 1 - 0.5 + 0.25 - 0.125 + \dots $. A magnitude de $ q^{n} $ ainda diminui porque $ |q| < 1 $, então a série pode convergir.
Passo 6
Para que a série converja em geral, precisamos que $ |q| < 1 $, ou seja, $ -1 < q < 1 $. Nessa faixa, os termos $ q^{n} $ tendem a zero conforme $ n $ cresce, o que é uma condição necessária para a convergência da série.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a soma dessa série quando $ -1 < q < 1 $. Sabemos que a soma dos termos de uma série geométrica infinita é dada por:
Isso vale porque, dentro do intervalo de convergência, a soma se estabiliza nesse valor.
Resposta
A série geométrica
converge para
quando
.