Considere a série geométrica
.
Mostre que a
-ésima soma parcial da série
pode ser escrita como
.
Dica: Considere a diferença
.
Mostre que a
Dica: Considere a diferença
Passo 1
Resumo do Enunciado:
A gente tem uma série geométrica da forma
, onde
é um número real. O objetivo é mostrar que a soma dos primeiros
termos dessa série, que chamamos de
, pode ser escrita de maneira mais simples como
. Para isso, vamos usar a dica que sugere analisar a diferença
.
Passo 2
Entendendo a Série Geométrica:
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. É uma soma de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante, que aqui é o
. Então, na nossa série:
Cada termo seguinte é
vezes o termo anterior. Nosso objetivo é simplificar essa soma.
Passo 3
Aplicando a Dica:
A dica nos orienta a considerar a diferença
. Vamos calcular isso passo a passo.
Primeiro, escrevemos
:
Agora, multiplicamos
por
:
Passo 4
Calculando a Diferença:
Subtraímos
de
:
Observamos que muitos termos se cancelam:
- O
do primeiro termo cancela com o do segundo. - O
cancela com o do termo seguinte. - Isso continua até o
.
Fica assim:
Passo 5
Isolando
:
Agora, fatoramos
no lado esquerdo da equação:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, a
-ésima soma parcial da série geométrica é: