Considere a série geométrica sumn=0^infty q^n com q in R.
Mostre que a n-ésima soma parcial da série
Sn=1+q+q^2+cdots+q^n-1
pode ser escrita como Sn=1-q^n1-q.
Dica: Considere a diferença Sn-q Sn.

Passo 1

Resumo do Enunciado:
A gente tem uma série geométrica da forma sumn=0^infty q^n, onde q é um número real. O objetivo é mostrar que a soma dos primeiros n termos dessa série, que chamamos de Sn = 1 + q + q^2 + cdots + q^n-1, pode ser escrita de maneira mais simples como Sn = 1 - q^n1 - q. Para isso, vamos usar a dica que sugere analisar a diferença Sn - q Sn.

Passo 2

Entendendo a Série Geométrica:
Primeiro, vamos entender o que é uma série geométrica. É uma soma de termos onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante, que aqui é o q. Então, na nossa série:
Sn = 1 + q + q^2 + cdots + q^n-1
Cada termo seguinte é q vezes o termo anterior. Nosso objetivo é simplificar essa soma.

Passo 3

Aplicando a Dica:
A dica nos orienta a considerar a diferença Sn - q Sn. Vamos calcular isso passo a passo.
Primeiro, escrevemos Sn:
Sn = 1 + q + q^2 + cdots + q^n-1
Agora, multiplicamos Sn por q:
q Sn = q + q^2 + q^3 + cdots + q^n

Passo 4

Calculando a Diferença:
Subtraímos q Sn de Sn:
Sn - q Sn = (1 + q + q^2 + cdots + q^n-1) - (q + q^2 + q^3 + cdots + q^n)
Observamos que muitos termos se cancelam:
  • O q do primeiro termo cancela com o q do segundo.
  • O q^2 cancela com o q^2 do termo seguinte.
  • Isso continua até o q^n-1.
Fica assim:
Sn - q Sn = 1 - q^n

Passo 5

Isolando Sn:
Agora, fatoramos Sn no lado esquerdo da equação:
Sn(1 - q) = 1 - q^n
Para encontrar Sn, dividimos ambos os lados por (1 - q):
Sn = 1 - q^n1 - q

Resposta

Portanto, a n-ésima soma parcial da série geométrica é:
Sn = 1 - q^n1 - q

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