(Desigualdade de Bernoulli) Fixe p>1 e considere f:]-1,+infty[ R dada por f(x)=(1+x)^p-p x. Estude o crescimento de f para provar que (1+x)^p >= 1+p x para todo x>-1.

Passo 1

Resumo do enunciado: Definimos a função f em ]-1,+∞[ por f(x)=(1+x)^p−p x e queremos provar a desigualdade de Bernoulli (1+x)^p≥1+p x usando crescimento de f.

Passo 2

Cálculo da derivada: Aplicando a regra da potência e a linearidade, obtemos
[
f’(x)=p(1+x){p-1}−p=p\bigl((1+x){p-1}−1\bigr).

Passo 3

Análise do sinal de f’:
  • Para x>0 temos 1+x>1 e p−1>0, logo (1+x)^{p-1}≥1 e f’(x)≥0.
  • Para −1<x<0 temos 0<1+x<1, logo (1+x)^{p-1}<1 e f’(x)<0.
    Portanto f é decrescente em (−1,0] e crescente em [0,+∞), atingindo mínimo em x=0.

Passo 4

Conclusão: Como f(0)=(1+0)^p−p·0=1 e em todo x>-1 temos f(x)≥f(0), segue f(x)≥1, isto é (1+x)^p−p x≥1. Rearranjando obtém-se a desigualdade desejada.

Resposta

(1+x)^p >= 1 + p x para todo x>-1.

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