(Desigualdade de Bernoulli) Fixe
e considere
dada por
. Estude o crescimento de
para provar que
para todo
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Definimos a função f em ]-1,+∞[ por f(x)=(1+x)^p−p x e queremos provar a desigualdade de Bernoulli (1+x)^p≥1+p x usando crescimento de f.
Passo 2
Cálculo da derivada: Aplicando a regra da potência e a linearidade, obtemos
[
f’(x)=p(1+x){p-1}−p=p\bigl((1+x){p-1}−1\bigr).
f’(x)=p(1+x){p-1}−p=p\bigl((1+x){p-1}−1\bigr).
Passo 3
Análise do sinal de f’:
- Para x>0 temos 1+x>1 e p−1>0, logo (1+x)^{p-1}≥1 e f’(x)≥0.
- Para −1<x<0 temos 0<1+x<1, logo (1+x)^{p-1}<1 e f’(x)<0.
Portanto f é decrescente em (−1,0] e crescente em [0,+∞), atingindo mínimo em x=0.
Passo 4
Conclusão: Como f(0)=(1+0)^p−p·0=1 e em todo x>-1 temos f(x)≥f(0), segue f(x)≥1, isto é (1+x)^p−p x≥1. Rearranjando obtém-se a desigualdade desejada.