Considere a função real de duas variáveis reais f dada por f(x, y)=raiz25-x^2-y^2.
(a) Determine e faça um esboço do domínio de f. Determine o conjunto imagem de f.

Passo 1

O enunciado pede para a função de duas variáveis reais f dada por f(x,y)=raiz25 - x^2 - y^2 que determinemos o domínio (onde a função está definida) e o conjunto imagem (os valores que f pode assumir). Vamos usar a ideia de que a expressão dentro da raiz deve ser não negativa e que a raiz quadrada produz valores não negativos.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos que o radicando seja maior ou igual a zero. Assim,
25 - x^2 - y^2 >= 0
que equivale a
x^2 + y^2 <= 25
Portanto o domínio é o disco fechado de raio 5 centrado na origem, ou seja todos os pontos (x,y) tais que x^2 + y^2 <= 25. Num esboço, isso aparece como o círculo de raio 5 incluindo seu interior.

Passo 3

Para obter o conjunto imagem, observamos que a raiz quadrada sempre produz valores >=0. O valor mínimo ocorre quando 25 - x^2 - y^2 = 0, dando f=0, e o valor máximo ocorre quando x^2 + y^2=0, ou seja em (0,0), dando f(0,0)=raiz25=5. Assim a imagem é o intervalo fechado de 0 a 5.

Resposta

Domínio: (x,y)in R^2mid x^2+y^2<=25, que é o disco fechado de raio 5 centrado na origem (incluindo a fronteira). Imagem: [0,5].

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