Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
Passo 1
Nesse exercício, a gente quer calcular o limite
. O conteúdo aqui é limites de funções racionais no infinito, e vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece, que é
.
Passo 2
Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
. Primeiro escrevemos:
[
\frac{5 + x4}{x3 + x}
= \frac{\frac{5}{x^3} + \frac{x4}{x3}}{\frac{x3}{x3} + \frac{x}{x^3}}
= \frac{\frac{5}{x^3} + x}{1 + \frac{1}{x^2}}.
\frac{5 + x4}{x3 + x}
= \frac{\frac{5}{x^3} + \frac{x4}{x3}}{\frac{x3}{x3} + \frac{x}{x^3}}
= \frac{\frac{5}{x^3} + x}{1 + \frac{1}{x^2}}.
Passo 3
Agora, à medida que
, os termos
e
vão para zero. Logo a expressão fica equivalente a
, que cresce sem parar.
Passo 4
Como a forma simplificada cresce como
quando
, o valor da fração original fica cada vez maior, ou seja, diverge para
.
Resposta
O limite é
, ou seja, diverge para mais infinito.