Duas fontes de calor estão afastadas a metros uma da outra. Uma fonte de intensidade a no ponto A e a outra fonte de intensidade b no ponto B. A intensidade de calor em um ponto P no segmento de reta que liga A e B é dada pela fórmula
I=ax^2+b(s-x)^2
onde x é a distancia entre P e A medida em metros. Em que ponto entre A e B a temperatura é mínima?

Passo 1

Vamos lá! A gente tem duas fontes de calor, A e B, separadas por uma distância $ s $ metros. A fonte A tem intensidade $ a $ e a fonte B tem intensidade $ b $. Queremos descobrir em que ponto entre A e B a temperatura é mínima. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a intensidade total de calor é a menor possível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada:
I = ax^2 + b(s - x)^2
Aqui, $ I $ é a intensidade de calor no ponto $ P $ que está a uma distância $ x $ de A. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ x $ que torna $ I $ o menor possível.

Passo 3

Para encontrar o mínimo de uma função, usamos o conceito de derivada. A derivada nos mostra como a função está mudando em cada ponto. Quando a derivada é igual a zero, encontramos um ponto onde a função pode ter um mínimo ou máximo.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ I $ em relação a $ x $:
I
Usando a regra da derivada para potências, temos:
x

Passo 5

Agora, para encontrar o ponto onde $ I $ é mínima, igualamos a derivada a zero:
I
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
-2ax^3 + 2b(s - x)^3 = 0
Rearranjando os termos:
-ax^3 + b(s - x)^3 = 0

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados por $ x^{3}(s - x)^{3} $ para eliminar os denominadores:
x^3(s - x)^3
Agora, queremos isolar $ x $. Para isso, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
b cdot x^3 = a cdot (s - x)^3

Passo 7

Distribuindo $ \sqrt[3]{\frac{a}{b}} $:
raiz[3]ab
Vamos trazer todos os termos com $ x $ para um lado:
x = raiz[3]ab cdot s - raiz[3]ab cdot x
Fatorando $ x $:
x
Agora, isolamos $ x $:
x + raiz[3]ab cdot x = raiz[3]ab cdot s

Passo 8

Para simplificar a expressão, multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt[3]{b} $:
raiz[3]b
Essa é a posição entre A e B onde a intensidade de calor é mínima.

Resposta

A temperatura é mínima no ponto que está a uma distância de
x = raiz[3]a cdot sraiz[3]a + raiz[3]b
metros de A.

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