Duas fontes de calor estão afastadas a metros uma da outra. Uma fonte de intensidade a no ponto
e a outra fonte de intensidade
no ponto
. A intensidade de calor em um ponto
no segmento de reta que liga
e
é dada pela fórmula
onde
é a distancia entre
e
medida em metros. Em que ponto entre
e
a temperatura é mínima?
Passo 1
Vamos lá! A gente tem duas fontes de calor, A e B, separadas por uma distância $ s $ metros. A fonte A tem intensidade $ a $ e a fonte B tem intensidade $ b $. Queremos descobrir em que ponto entre A e B a temperatura é mínima. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a intensidade total de calor é a menor possível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada:
Aqui, $ I $ é a intensidade de calor no ponto $ P $ que está a uma distância $ x $ de A. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ x $ que torna $ I $ o menor possível.
Passo 3
Para encontrar o mínimo de uma função, usamos o conceito de derivada. A derivada nos mostra como a função está mudando em cada ponto. Quando a derivada é igual a zero, encontramos um ponto onde a função pode ter um mínimo ou máximo.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ I $ em relação a $ x $:
Usando a regra da derivada para potências, temos:
Passo 5
Agora, para encontrar o ponto onde $ I $ é mínima, igualamos a derivada a zero:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 2:
Rearranjando os termos:
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados por $ x^{3}(s - x)^{3} $ para eliminar os denominadores:
Agora, queremos isolar $ x $. Para isso, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
Passo 7
Distribuindo $ \sqrt[3]{\frac{a}{b}} $:
Vamos trazer todos os termos com $ x $ para um lado:
Fatorando $ x $:
Agora, isolamos $ x $:
Passo 8
Para simplificar a expressão, multiplicamos numerador e denominador por $ \sqrt[3]{b} $:
Essa é a posição entre A e B onde a intensidade de calor é mínima.
Resposta
A temperatura é mínima no ponto que está a uma distância de
metros de A.