Considere a função real
f(x)=l e^2 x-1, se x <= 1, e^2, se x>1
Esta função é contínua em x=1? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
f(x)=l e^2 x-1, se x <= 1, e^2, se x >1
A pergunta é: essa função é contínua em x=1? Para responder isso, precisamos entender o que é continuidade. Basicamente, uma função é contínua num ponto se o limite quando a gente se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita, e também igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função em x=1. Como x=1 se encaixa na primeira parte da definição ( x <= 1), substituímos:
f(1) = e^2 cdot 1 - 1 = e^2 - 1
Então, f(1) = e^2 - 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, x to 1^-. Isso significa que estamos usando a primeira definição da função:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (e^2x - 1) = e^2 cdot 1 - 1 = e^2 - 1
Então, o limite pela esquerda é e^2 - 1.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1 pela direita, ou seja, x to 1^+. Agora, usamos a segunda parte da função:
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ e^2 = e^2
Então, o limite pela direita é e^2.

Passo 5

Para a função ser contínua em x=1, os três valores precisam ser iguais:
  1. f(1) = e^2 - 1
  2. limx to 1^- f(x) = e^2 - 1
  3. limx to 1^+ f(x) = e^2
Vemos que e^2 - 1 neq e^2.

Resposta

Não, a função f(x) não é contínua em x=1, porque o limite pela direita ( e^2) é diferente do valor da função em x=1 ( e^2 - 1).

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