Considere a função real
Esta função é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
A pergunta é: essa função é contínua em
? Para responder isso, precisamos entender o que é continuidade. Basicamente, uma função é contínua num ponto se o limite quando a gente se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita, e também igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função em
. Como
se encaixa na primeira parte da definição (
), substituímos:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja,
. Isso significa que estamos usando a primeira definição da função:
Então, o limite pela esquerda é
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 pela direita, ou seja,
. Agora, usamos a segunda parte da função:
Então, o limite pela direita é
.
Passo 5
Para a função ser contínua em
, os três valores precisam ser iguais:
Vemos que
.
Resposta
Não, a função
não é contínua em
, porque o limite pela direita (
) é diferente do valor da função em
(
).