Considere a função real,
.
Calcule os pontos de inflexão e determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.
Calcule os pontos de inflexão e determine os intervalos onde o gráfico de
Passo 1
O exercício pede para a gente encontrar os pontos de inflexão de f(x)=x³−x²−x+1 e identificar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. O conteúdo principal aqui é derivadas (primeira e segunda) e concavidade de funções.
Passo 2
Para começar, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de f. A primeira derivada é
e a segunda derivada, que nos dá a concavidade, é
Passo 3
Ponto de inflexão ocorre onde f’’(x)=0 e há troca de sinal. Então resolvemos
Para achar a ordem y, calculamos f\bigl(\tfrac13\bigr):
Logo o ponto de inflexão é
.
Passo 4
Para ver a concavidade, analisamos o sinal de f’’(x)=6x−2: se f’’(x)>0 a curva é côncava para cima, se f’’(x)<0 é côncava para baixo. Assim:
Resposta
O ponto de inflexão é
. A função é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.