Considere a função real, f(x)=x^3-x^2-x+1, x in R.
Calcule os pontos de inflexão e determine os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo.

Passo 1

O exercício pede para a gente encontrar os pontos de inflexão de f(x)=x³−x²−x+1 e identificar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. O conteúdo principal aqui é derivadas (primeira e segunda) e concavidade de funções.

Passo 2

Para começar, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de f. A primeira derivada é
f'(x)=3x^2-2x-1
e a segunda derivada, que nos dá a concavidade, é
f''(x)=6x-2

Passo 3

Ponto de inflexão ocorre onde f’’(x)=0 e há troca de sinal. Então resolvemos
6x-2=0Rightarrow x=13
Para achar a ordem y, calculamos f\bigl(\tfrac13\bigr):
fl(tfrac13r)=l(tfrac13r)^3-l(tfrac13r)^2-tfrac13+1=1-3-9+2727=1627
Logo o ponto de inflexão é l(tfrac13,tfrac1627r).

Passo 4

Para ver a concavidade, analisamos o sinal de f’’(x)=6x−2: se f’’(x)>0 a curva é côncava para cima, se f’’(x)<0 é côncava para baixo. Assim:
6x-2<0iff xô
6x-2>0iff x>tfrac13(côncava para cima)ô

Resposta

O ponto de inflexão é l(tfrac13,tfrac1627r). A função é côncava para baixo em (tfrac13,+infty) e côncava para cima em .

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