Considere o problema de valor inicial
em que
.
a. Encontre a solução
do problema de valor inicial.
a. Encontre a solução
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI de segunda ordem
com condições iniciais nulas, onde
. O conteúdo é equação diferencial linear não homogênea e vamos usar a resposta ao impulso do sistema para montar a solução por convolução.
Passo 2
A resposta ao impulso do sistema
é
. Logo, a solução do PVI geral é dada por
.
Passo 3
Substituindo
temos
pois os degraus limitam a integração a
, e para
a integral é zero.
Passo 4
Para avaliar, usamos
Então, dependendo de
, obtemos três regimes:
- Para
, não há contribuição e . - Para
, a integral vai de até , resultando
- Para
, a integral vai de até , dando
Resposta
Para todo
e
a solução é
desenvolvida em três casos:
desenvolvida em três casos:
Para
:
Para
:
Para
: