Considere o problema de valor inicial
y^prime prime+y=fk(t), y(0)=0, y^prime(0)=0
em que fk(t)=12 k(u4-k(t)-u4+k(t)) com 0= 1.
a. Encontre a solução y=phi(t, k) do problema de valor inicial.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de segunda ordem y''+y=fk(t) com condições iniciais nulas, onde fk(t)=tfrac12k[u(t-(4-k))-u(t-(4+k))]. O conteúdo é equação diferencial linear não homogênea e vamos usar a resposta ao impulso do sistema para montar a solução por convolução.

Passo 2

A resposta ao impulso do sistema y''+y=de é h(t)=sin(t),u(t). Logo, a solução do PVI geral é dada por y(t)=h*fk(t)=integral0^tsin(t-s),fk(s),ds.

Passo 3

Substituindo fk(s) temos
y(t)=12kintegral4-k^4+ksin(t-s),ds,
pois os degraus limitam a integração a sin[4-k,4+k], e para t<4-k a integral é zero.

Passo 4

Para avaliar, usamos
integralsin(t-s),ds=-cos(t-s)+C
Então, dependendo de t, obtemos três regimes:
  1. Para t<4-k, não há contribuição e y(t)=0.
  2. Para 4-k<= t<4+k, a integral vai de 4-k até t, resultando
y(t)=cosl(t-(4-k)r)-12k
  1. Para t>=4+k, a integral vai de 4-k até 4+k, dando
y(t)=cosl(t-(4-k)r)-cosl(t-(4+k)r)2k

Resposta

Para todo k>0 e t>=0 a solução é
desenvolvida em três casos:
Para t<4-k:
phi(t,k)=0
Para 4-k<= t<4+k:
phi(t,k)=cosl(t-(4-k)r)-12k
Para t>=4+k:
phi(t,k)=cosl(t-(4-k)r)-cosl(t-(4+k)r)2k

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