Em um triângulo A B C, retângulo em A, a hipotenusa mede 5 d m e sen(widehatB)=12 cdot sen(widehatC). Nessas condições, o maior cateto mede, em dm,

Passo 1

Vamos resolver esse problema de triângulo retângulo! A gente tem um triângulo ABC retângulo em A, com a hipotenusa medindo 5,dm. Além disso, sabemos que sen(widehatB) = 12 cdot sen(widehatC). Nosso objetivo é descobrir qual é o maior cateto desse triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um triângulo retângulo, os ângulos além do ângulo de 90^circ somam 90^circ. Então, widehatB + widehatC = 90^circ. Isso significa que sen(widehatC) é igual a cos(widehatB), já que sen(90^circ - theta) = cos(theta).

Passo 3

A equação dada é sen(widehatB) = 12 cdot sen(widehatC). Substituindo sen(widehatC) por cos(widehatB), temos:
sen(widehatB) = 12 cdot cos(widehatB)
Isso pode ser rearranjado para:
2 cdot sen(widehatB) = cos(widehatB)
Dividindo ambos os lados por cos(widehatB), obtemos:
2 cdot tan(widehatB) = 1 Rightarrow tan(widehatB) = 12

Passo 4

Agora, sabemos que tan(widehatB) = cateto opostocateto adjacente = ab = 12, onde a é o cateto oposto a B e b é o cateto adjacente a B. Isso significa que a = b2.

Passo 5

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo:
a^2 + b^2 = 5^2 Rightarrow (b2)^2 + b^2 = 25
b^24 + b^2 = 25 Rightarrow 5b^24 = 25 Rightarrow b^2 = 20 Rightarrow b = raiz20 = 2raiz5,dm

Resposta

O maior cateto mede 2raiz5,dm.

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