Considere uma função real
, periódica de período
, dada, no intervalo
, por
.
Encontre os coeficientes de Fourier de
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Encontre os coeficientes de Fourier de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de séries de Fourier. A questão nos dá uma função real $ f $, periódica de período $ 2\pi $, definida no intervalo $ (-\pi, \pi) $ por $ f(x) = x^{2} + 2 $. Nosso objetivo é encontrar os coeficientes de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que são as séries de Fourier e como calcular os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que uma série de Fourier de uma função periódica de período $ 2\pi $ é dada por:
Os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ são calculados pelas fórmulas:
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente $ a_0 $. Substituindo $ f(x) = x^{2} + 2 $ na fórmula:
Vamos resolver essa integral:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. Usamos a fórmula:
Observando que $ x^{2} $ é uma função par e $ \cos(nx) $ também é uma função par, o produto será par, então podemos simplificar a integral:
Para resolver essa integral, utilizamos a integração por partes. Após realizar os cálculos, obtemos:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular os coeficientes $ b_n $. A fórmula é:
Note que $ x^{2} $ é par e $ \sin(nx) $ é ímpar, então o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:
Resposta
Os coeficientes de Fourier da função $ f(x) = x^{2} + 2 $ são: