Considere uma função real f, periódica de período 2 pi, dada, no intervalo (-pi, pi), por f(x)=x^2+2.
Encontre os coeficientes de Fourier de f.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de séries de Fourier. A questão nos dá uma função real $ f $, periódica de período $ 2\pi $, definida no intervalo $ (-\pi, \pi) $ por $ f(x) = x^{2} + 2 $. Nosso objetivo é encontrar os coeficientes de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que são as séries de Fourier e como calcular os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que uma série de Fourier de uma função periódica de período $ 2\pi $ é dada por:
2pi
Os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ são calculados pelas fórmulas:
f(x) = a02 + sumn=1^infty ( an cos(nx) + bn sin(nx) )
a0
an

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente $ a_0 $. Substituindo $ f(x) = x^{2} + 2 $ na fórmula:
a0
Vamos resolver essa integral:
f(x) = x^2 + 2
a0 = 1pi integral-pi^pi (x^2 + 2) , dx
Então:
integral-pi^pi x^2 , dx = 2 integral0^pi x^2 , dx = 2 [ x^33 ]0^pi = 2 ( pi^33 ) = 2pi^33

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. Usamos a fórmula:
an
Observando que $ x^{2} $ é uma função par e $ \cos(nx) $ também é uma função par, o produto será par, então podemos simplificar a integral:
an = 1pi integral-pi^pi (x^2 + 2) cos(nx) , dx
Para resolver essa integral, utilizamos a integração por partes. Após realizar os cálculos, obtemos:
x^2

Passo 5

Finalmente, vamos calcular os coeficientes $ b_n $. A fórmula é:
bn
Note que $ x^{2} $ é par e $ \sin(nx) $ é ímpar, então o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:
bn = 1pi integral-pi^pi (x^2 + 2) sin(nx) , dx

Resposta

Os coeficientes de Fourier da função $ f(x) = x^{2} + 2 $ são:
f(x) = x^2 + 2
a0 = 2pi^23 + 4
an = 4(-1)^nn^2

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