Sejam a uma constante qualquer e Q(x)=\frac{a x^{3}-a x^{2}+x+1}{2 x^{2}-2 x-1} uma função real, onde x é uma variável pertencente ao conjunto dos números reais. Se \mathrm{Q}(-1)=1 / 3, então qual será o valor da constante a ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
Q(x)=\frac{a x^{3}-a x^{2}+x+1}{2 x^{2}-2 x-1},
onde a é uma constante desconhecida. Pede-se: encontrar o valor de a sabendo que
Q(-1)=\frac{1}{3}.
Informações relevantes que temos: a expressão de Q(x) e o valor da função em x=-1.

Passo 2

Vamos calcular Q(-1) fazendo a substituição x=-1 em numerador e denominador. Primeiro, escrevo o numerador de Q(x) e substituo x=-1:
\text{numerador} = a(-1)^{3}-a(-1)^{2}+(-1)+1.

Passo 3

Agora simplifico termo a termo no numerador. Lembre que (-1)^{3}=-1 e (-1)^{2}=1. Então
a(-1)^{3} = -a,\qquad -a(-1)^{2} = -a.
Portanto o numerador fica
-a - a + (-1) + 1 = -2a + 0 = -2a.

Passo 4

Agora o denominador em x=-1. Substituo na expressão do denominador:
\text{denominador} = 2(-1)^{2}-2(-1)-1.
Como (-1)^{2}=1, temos
\text{denominador} = 2\cdot 1 + 2 - 1 = 2 + 2 - 1 = 3.

Passo 5

Portanto
Q(-1)=\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}=\frac{-2a}{3}.
Pelo enunciado sabemos que Q(-1)=\frac{1}{3}. Igualando:
\frac{-2a}{3}=\frac{1}{3}.
Multiplico ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
-2a = 1.
Agora isolo a dividindo por -2:
a = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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