O lúcro mensal \mathrm{L}(\mathrm{x}), em milhares de reais, de uma empresa depende do preço x , em reais, do produto que pode ser descrito pela função \mathrm{L}(x)=-2 x^{2}+16 x-20.
Qual deve ser o preço do produto para se obter o maior lucro possivel?
A) 2 reais
B) 4 reais
C) 6 reais
D) 8 reais
E) 10 reais

Passo 1

O enunciado dá a função do lucro mensal L(x), em milhares de reais, em função do preço x, em reais:
L(x) = -2x^{2} + 16x - 20.
Pergunta: qual deve ser o preço x para obter o maior lucro possível? As alternativas fornecidas são: 2, 4, 6, 8 ou 10 reais.

Passo 2

Entendimento da forma da função (sem resolver ainda): L(x) é um polinômio quadrático da forma
L(x) = ax^{2} + bx + c,
onde, neste caso, a=-2, b=16 e c=-20. Importante: quando a<0 a parábola abre para baixo, então a função tem um ponto de máximo (o vértice). O preço que maximiza o lucro é a coordenada x desse vértice.

Passo 3

Método escolhido: completar o quadrado (método elementar e fácil de aplicar em prova). Vamos reescrever L(x) de modo a evidenciar um quadrado perfeito.
Começamos factorizando o coeficiente de x^{2} nos termos com x:
L(x) = -2x^{2} + 16x - 20 = -2\bigl(x^{2} - 8x\bigr) - 20.
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para x^{2}-8x o termo a adicionar e subtrair é \left(\dfrac{8}{2}\right)^{2}=4^{2}=16. Então:
x^{2}-8x = (x-4)^{2} - 16.
Substituindo de volta:
L(x) = -2\bigl((x-4)^{2} - 16\bigr) - 20.
Desenvolvendo:
L(x) = -2(x-4)^{2} + 32 - 20.
L(x) = -2(x-4)^{2} + 12.

Passo 4

Interpretação do resultado obtido: na expressão
L(x) = -2(x-4)^{2} + 12
o termo (x-4)^{2} é sempre maior ou igual a zero. Como está multiplicado por -2 (número negativo), o maior valor que -2(x-4)^{2} pode atingir é 0, quando (x-4)^{2}=0, ou seja, quando x=4. Nesse ponto L(x) atinge seu valor máximo:
L(4) = -2\cdot 0 + 12 = 12
(lembrando que L está em milhares de reais, então o lucro máximo é 12 milhares = R\$12\,000).
Observação rápida (método alternativo para prova): a fórmula direta para a coordenada x do vértice é
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Aqui isso dá
x_{v} = -\frac{16}{2\cdot(-2)} = -\frac{16}{-4} = 4,
confirmando o resultado.

Passo 5

Conclusão final: o preço que maximiza o lucro é x=4 reais. Força aí — com esse truque de completar o quadrado ou usando -\dfrac{b}{2a} você resolve perguntas assim rapidinho na prova!

Resposta

4 reais

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