Considere a função e a região . Calcule a integral dupla de sobre a região utilizando a ordem de integração .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa calcular a integral dupla dessa função na região . Isso significa que varia de 1 a 4 e de 0 a 2. Vamos usar a ordem de integração , ou seja, primeiro integramos em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas e aplicar essas integrais passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla com os limites de integração definidos. Como estamos integrando primeiro em e depois em , temos:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é a integração de em relação a , mantendo constante:
Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de x = 1 e x = 4 :
Para x = 4 :
(4)^2 + 3y (4) = 16 + 12y
Para x = 1 :
(1)^2 + 3y (1) = 1 + 3y
Subtraindo:
(16 + 12y) - (1 + 3y) = 15 + 9y
Então, a integral interna resulta em 15 + 9y .
Passo 5
Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa, que é a integração de 15 + 9y em relação a y de 0 a 2:
integral0^2 (15 + 9y) , dy
Integrando termo a termo:
integral 15 , dy = 15y e integral 9y , dy = 92 y^2
Então, a integral fica:
15y + 92 y^2 |0^2
Passo 6
Vamos avaliar essa expressão nos limites de y = 0 e y = 2 :
Para y = 2 :
15(2) + 92 (2)^2 = 30 + 92 times 4 = 30 + 18 = 48
Para y = 0 :
15(0) + 92 (0)^2 = 0 + 0 = 0
Subtraindo:
48 - 0 = 48
Resposta
A integral dupla de f(x, y) = 2x + 3y sobre a região R = [1,4] times [0,2] é igual a 48.