Considere a função f(x, y)=2 x+3 y e a região R=[1,4] times [0,2]. Calcule a integral dupla de f(x, y) sobre a região R utilizando a ordem de integração dxdy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = 2x + 3y e precisa calcular a integral dupla dessa função na região R = [1,4] times [0,2] . Isso significa que x varia de 1 a 4 e y de 0 a 2. Vamos usar a ordem de integração dx , dy , ou seja, primeiro integramos em relação a x e depois em relação a y . Para isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas e aplicar essas integrais passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla com os limites de integração definidos. Como estamos integrando primeiro em x e depois em y , temos:
integraly=0^2 integralx=1^4 (2x + 3y) , dx , dy

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é a integração de 2x + 3y em relação a x , mantendo y constante:
integralx=1^4 (2x + 3y) , dx
Integrando termo a termo:
integral 2x , dx = x^2 e integral 3y , dx = 3y x
Então, a integral fica:
x^2 + 3y x |1^4

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de x = 1 e x = 4 :
Para x = 4 :
(4)^2 + 3y (4) = 16 + 12y
Para x = 1 :
(1)^2 + 3y (1) = 1 + 3y
Subtraindo:
(16 + 12y) - (1 + 3y) = 15 + 9y
Então, a integral interna resulta em 15 + 9y .

Passo 5

Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa, que é a integração de 15 + 9y em relação a y de 0 a 2:
integral0^2 (15 + 9y) , dy
Integrando termo a termo:
integral 15 , dy = 15y e integral 9y , dy = 92 y^2
Então, a integral fica:
15y + 92 y^2 |0^2

Passo 6

Vamos avaliar essa expressão nos limites de y = 0 e y = 2 :
Para y = 2 :
15(2) + 92 (2)^2 = 30 + 92 times 4 = 30 + 18 = 48
Para y = 0 :
15(0) + 92 (0)^2 = 0 + 0 = 0
Subtraindo:
48 - 0 = 48

Resposta

A integral dupla de f(x, y) = 2x + 3y sobre a região R = [1,4] times [0,2] é igual a 48.

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